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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+cx轴交于点A(﹣20),点B40),与y轴交于点C08),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点PDE

1)求抛物线的表达式;

2)连接ACAP,当直线l运动时,求使得PEAAOC相似的点P的坐标;

3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值.

【答案】1 y=﹣x2+2x+8;(2)点P);(3

【解析】

1)将点ABC的坐标代入二次函数表达式,即可求解;

2)只有当∠PEA=∠AOC时,PEA△∽AOC,可得:PE4AE,设点P坐标(4k2k),即可求解;

3)利用RtPFDRtBOC得: ,再求出PD的最大值,即可求解.

解:(1)将点ABC的坐标代入二次函数表达式得:

解得:a= -1b=2c=8

故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+8

2)∵点A(﹣20)、C08),

OA2OC8

lx轴,∴∠PEA=∠AOC90°

∵∠PAECAO

∴只有当∠PEA=∠AOC时,PEA△∽AOC

此时,即:

AE4PE

设点P的纵坐标为k,则PEkAE4k

OE4k2

将点P坐标(4k2k)代入二次函数表达式并解得:

k0(舍去0),则点P);

3)在RtPFD中,∠PFD=∠COB90°

ly轴,

∴∠PDF=∠COB

PFDBOC

SPDFSBOC

SBOCOBOC×4×8=16

BC

SPDFSBOCPD2

即当PD取得最大值时,SPDF最大,

BC坐标代入一次函数表达式得:

解得:

∴直线BC的表达式为:y=﹣2x+8

设点Pm,﹣m2+2m+8),则点Dm,﹣2m+8),

PD=﹣m2+2m+8+2m8=﹣(m22+4

m2时,PD的最大值为4

故当PD4时,∴SPDFPD2

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组别

课前预习时间

频数(人数)

频率

1

2

2

0.10

3

16

0.32

4

5

3

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2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;

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