【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;
(3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.
【答案】(1) y=﹣x2+2x+8;(2)点P();(3)
【解析】
(1)将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)只有当∠PEA=∠AOC时,PEA△∽AOC,可得:PE=4AE,设点P坐标(4k﹣2,k),即可求解;
(3)利用Rt△PFD∽Rt△BOC得: ,再求出PD的最大值,即可求解.
解:(1)将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得:,
解得:a= -1,b=2,c=8,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+8;
(2)∵点A(﹣2,0)、C(0,8),
∴OA=2,OC=8,
∵l⊥x轴,∴∠PEA=∠AOC=90°,
∵∠PAE≠∠CAO,
∴只有当∠PEA=∠AOC时,PEA△∽AOC,
此时,即:,
∴AE=4PE,
设点P的纵坐标为k,则PE=k,AE=4k,
∴OE=4k﹣2,
将点P坐标(4k﹣2,k)代入二次函数表达式并解得:
k=0或(舍去0),则点P();
(3)在Rt△PFD中,∠PFD=∠COB=90°,
∵l∥y轴,
∴∠PDF=∠COB,
∴△PFD∽△BOC,
∴,
∴S△PDF=S△BOC,
而S△BOC=OBOC=×4×8=16,
BC=,
∴S△PDF=S△BOC=PD2,
即当PD取得最大值时,S△PDF最大,
将B、C坐标代入一次函数表达式得:
,
解得:,
∴直线BC的表达式为:y=﹣2x+8,
设点P(m,﹣m2+2m+8),则点D(m,﹣2m+8),
则PD=﹣m2+2m+8+2m﹣8=﹣(m﹣2)2+4,
当m=2时,PD的最大值为4,
故当PD=4时,∴S△PDF=PD2=.
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【题目】如图,已知直线与轴和轴分别交于点和点抛物线经过点与直线的另一个交点为.
求的值和抛物线的解析式
点在抛物线上,轴交直线于点点在直线上,且四边形为矩形.设点的横坐标为矩形的周长为求与的函数关系式以及的最大值
将绕平面内某点逆时针旋转得到(点分别与点对应),若的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点的坐标.
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【题目】人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用表示一个人的年龄,用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分心跳的最高次数,那么.
(1)一个45岁的人运动时10秒心跳的次数为22次,他__________(填“有”或“无”)危险;
(2)即将参加中考的两名同学的对话:甲同学:“我正常情况下在运动时所能承受的每分心跳的最高次数是164次”,乙同学:“我正常情况下在运动时所能承受的每分心跳的最高次数才156次”.请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由.
(3)若一个人的年龄由变为(为正整数),发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分心跳的最高次数减少了12,用列方程的方法确定.
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(不与C,D两点重合),连接BE,过点C作CH⊥BE于点F,交对角线BD于点G,交AD边于点H,连接GE,
(1)求证:△DHC≌△CEB;
(2)如图2,若点E是CD的中点,当BE=8时,求线段GH的长;
(3)设正方形ABCD的面积为S1,四边形DEGH的面积为S2,当的值为时,的值为 .
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【题目】学习一定要讲究方法,比如有效的预习可大幅提高听课效率.九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况,对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位:)进行了抽样调查.并将抽查得到的数据分成5组,下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图.
组别 | 课前预习时间 | 频数(人数) | 频率 |
1 | 2 | ||
2 | 0.10 | ||
3 | 16 | 0.32 | |
4 | |||
5 | 3 |
请根据图表中的信息,回答下列问题:
(1)本次调查的样本容量为 ,表中的 , , ;
(2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;
(3)该校九年级其有1000名学生,请估计这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数.
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【题目】在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球,其上面分别标注数字1、2、3、,现从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的横坐标;将球放回袋中搅匀,再从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的纵坐标.
(1)求点M在直线y=x上的概率;
(2)求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
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【题目】如图,已知是的直径,且,是上一点,将弧沿直线翻折,使翻折后的圆弧恰好经过圆心,则
(1)的长是_________.
(2)劣弧的长是__________.
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