【题目】如图,已知直线与轴和轴分别交于点和点抛物线经过点与直线的另一个交点为.
求的值和抛物线的解析式
点在抛物线上,轴交直线于点点在直线上,且四边形为矩形.设点的横坐标为矩形的周长为求与的函数关系式以及的最大值
将绕平面内某点逆时针旋转得到(点分别与点对应),若的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点的坐标.
【答案】(1)n=2,;(2),当时,有最大值;(3)点的坐标为或
【解析】
(1)把点B坐标代入直线解析式求出m的值,再把点C坐标代入直线解析式即可求出n的值,然后利用待定系数法求出二次函数解析式;
(2)求出点A坐标,从而得到OA、OB长度,利用勾股定理求出AB,证明解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形周长公式表示p,利用直线和抛物线解析式表示出DE的长,整理即可的p与t的函数关系式,再利用二次函数性质求出p的最大值;
(3)将绕平面内某点逆时针旋转,可得A1O1y轴,B1O1x轴,可得两种情况.当B1、O1在抛物线上时,根据B1O1=1,利用抛物线对称性,求出O1横坐标,进而求出A1坐标;当在抛物线上时,表示出A1,O1坐标,由A1O1=,从而求得A1坐标
解:直线经过点
直线的解析式为
直线经过点
.
抛物线经过点和点,
解得
抛物线的解析式为
直线与轴交于点
轴,
.
又,
点在抛物线上,点的横坐标为
,且
当时,有最大值
点的坐标为或
绕平面内某点逆时针旋转得到(点分别与点对应),且的两个顶点恰好落在抛物线上,
落在抛物线上或顶点落在抛物线上两种可能的情况.
点恰好都落在抛物线上时,如图1,
则轴,轴,
点关于抛物线的对称轴对称
抛物线的对称轴为直线
,
点的横坐标为
当时,
,
点的纵坐标为
当点恰好都落在抛物线上时,如图2.
设
,
点在抛物线上,
解得
综上,点的坐标为或
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(4,2),C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)请画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称;
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2B2C2,并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.
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【题目】定义:点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离.例如,如图1,正方形满足,,,,那么点到正方形的距离为.
(1)如果点到抛物线的距离为,请直接写出的值________.
(2)求点到直线的距离.
(3)如果点在直线上运动,并且到直线的距离为,求的坐标.
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【题目】如图,已知等边△ABC,AB=12.以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)求FG的长;
(3)求△FDG的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点在轴的正半轴上,.对角线相交于点,反比例函数的图像经过点,分别与交于点.
(1)若,求的值;
(2)连接,若,求的面积.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中,画出△AB′C′;
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;
(3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.
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