Question

【题目】如图，已知等边△ABC，AB＝12．以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)求FG的长；

(3)求△FDG的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

(1) 如图所示，连接OD．由题意可知∠A=∠B=∠C=60°,则OD=OB,可以证明△OBD为等边三角形,易得∠C=∠ODB=60°,再运用平行线的性质和判定以及等量代换即可完成解答.

(2)先说明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6.在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD,则AF=AC-CF=9,最后在Rt△AFG中，根据正弦的定义即可解答；

（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3,FH=，DH=,最后根据三角形的面积公式解答即可．

解：（1）如图所示，连接OD.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°

∵OD=OB

∴△OBD为等边三角形，

∴∠C=∠ODB=60°，

∴AC∥OD，

∴∠CFD=∠FDO，

∵DF⊥AC，

∴∠CFD=∠FDO=90°，

∴DF是⊙O的切线

（2）因为点O是AB的中点，则OD是△ABC的中位线．

∵△ABC是等边三角形，AB=12，

∴AB= AC= BC= 12， CD=BD=BC=6

∵∠C=60°，∠CFD=90°，

∴∠CDF=30°，同理可得∠AFG=30°，

∴CF=CD=3

∴AF=12-3=9．

∴．

（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3

∴FH=，DH=

∴△FDG的面积为DHFG=