Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，

（1）求证：△DHC≌△CEB；

（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；

（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，的值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）GH＝；（3）．

【解析】

(1)可得∠CHD=∠BEC，根据AAS可证明△DHC≌△CEB．

(2)由DH∥BC，可得，则GC=2GH，可求出GH的长；

(3)设S△DGH=9a，则S△BCG=49a，S△DCG=21a，求出S1和S2即可得出答案．

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC，∠HDC=∠BCE=90°，

∴∠DHC+∠DCH=90°，

∵CH⊥BE，

∴∠EFC=90°，

∴∠ECF+∠BEC=90°，

∴∠CHD=∠BEC，

∴△DHC≌△CEB(AAS)．

(2)解：∵△DHC≌△CEB，

∴CH=BE，DH=CE，

∵CE=DE=CD，CD=CB，

∴DH=BC，

∵DH∥BC，

∴，

∴GC=2GH，

设GH=x，则，则CG=2x，

∴BE=3x=8，

∴x=．

即GH=；

(3)∵，

∴，

∵DH=CE，DC=BC，

∴，

∵DH∥BC，

∴，，

∴，，

设S△DGH=9a，则S△BCG=49a，S△DCG=21a，

∴S△BCD=49a+21a=70a，

∴S1=2S△BCD=140a，

∵S△DEG：S△CEG=4：3，且S△DCG=21a，

∴S△DEG=12a，

∴S2=12a+9a=21a．

∴．

故答案为：．