Question

17．已知关于x的一元二次方程x²-4mx+4m²-4m-5=0①．
（1）若m是满足12＜m＜20的整数，且方程有两个整数根，求m的值；
（2）若关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-1=0②与x²-4mx+4m²-4m-5=0①的根都是整数，求m的整数值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个整数根，可得△=16m+20=4（4m+5），即可得4m+5是平方数，又由m是满足12＜m＜20的整数，即可求得答案；
（2）由关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-1=0②与x²-4mx+4m²-4m-5=0①的根都是整数，首先易得-$\frac{5}{4}$≤m≤$\frac{5}{4}$，又由m取整数，即可求得答案．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-4mx+4m²-4m-5=0方程有两个整数根，
∴△=b²-4ac=（-4m）²-4×1×（4m²-4m-5）=16m+20=4（4m+5），
∵方程有两个整数根，
∴4m+5是平方数，
∵m是满足12＜m＜20的整数，
∴m=19；

（2）∵△₁=b²-4ac=[-（2m-1）]²-4×1×（m²-1）=-4m+5≥0，
∴m≤$\frac{5}{4}$，
∵△₂=b²-4ac=16m+20≥0，
∴m≥-$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{5}{4}$≤m≤$\frac{5}{4}$，
∴m=-1，0，1，
∵根都是整数，
∴m=±1．

点评 此题考查了根的判别式以及完全平方数．注意根据题意得到△=16m+20=4（4m+5），继而4m+5是平方数是解此题的关键．