Question

如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，

4

5

t²-

24

5

t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．

解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
把点A（0，4）代入上式得：a=

4

5

，
∴y=

4

5

（x-1）（x-5）=

4

5

x²-

24

5

x+4=

4

5

（x-3）²-

16

5

，
∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为（3，

8

5

）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得

4=6k+b 0=k+b

，
解得

k= 4 5 b=- 4 5

，
∴y=

4

5

x-

4

5

，
∵点P的横坐标为3，
∴y=

4

5

×3-

4

5

=

8

5

，
∴P（3，

8

5

）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，

4

5

t²-

24

5

t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-

4

5

x+4，
把x=t代入得：y=-

4

5

t+4，则G（t，-

4

5

t+4），
此时：NG=-

4

5

t+4-（

4

5

t²-

24

5

t+4）=-

4

5

t²+4t，
∵AD+CF=CO=5，
∴S_△ACN=S_△ANG+S_△CGN=

1

2

AM×NG+

1

2

NG×CF=

1

2

NG•OC=

1

2

×（-

4

5

t²+4t）×5=-2t²+10t=-2（t-

5

2

）²+

25

2

，
∴当t=

5

2

时，△CAN面积的最大值为

25

2

，
由t=

5

2

，得：y=

4

5

t²-

24

5

t+4=-3，
∴N（

5

2

，-3）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．