Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线，OA = 2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．

（１）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（２）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（３）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（１）　；D(2，2)
（２）存在，证明略。
（３）存在，证明略。

解析解：(1) ∵OA = 2，∴A(– 2，0)。
∵A与B关于直线对称，
∵B(3，0)，由于A、B两点在抛物线上，
∴解得。     ∴
过D作DE⊥x轴于E，∵∠BOC = 90，OD平分∠BOC，
∴∠DOB = 45，∠ODE = 45，∴DE = OE，即x_D = y_D，
∴，解得x₁ = 2，x₂ =" –" 3(舍去)
∴D(2，2)。······················································································ （4分）
(2) 存在。BD为定值，∴要使△BPD的周长最小，只需PD + PB最小。
∵A与B关于直线对称，∴PB = PA，只需PD + PA最小。
∴连接AD，交对称轴于点P，此时PD + PA最小。······································ （6分）

由A(– 2，0)，D(2，2)可得，直线AD：········································· （7分）
令，∴存在点P()，使△BPD的周长最小。························· （8分）
(3) 存在。
(i) 当AD为□AMDN的对角线时，MD∥AN，即MD∥x轴。
∴y_M= y_D，
∴M与D关于直线对称。
∴M( – 1，2)。·············································· （9分）
(ii) 当AD为□ADMN的边时，
∵□ADMN是中心对称图形，△AND≌△ANM。
∴
∴令
解得·································· （11分）
综上所述：满足条件的M点有三个M(– 1，2)，
···················································································· （12分）