Question

【题目】如图，在矩形中，，点是边的中点，和的延长线交于点，点是边上的一点，且满足，连接，，且与交于点．

（1）若，求的面积

（2）当是直角三角形时，求所有满足要求的值．

（3）记，，

①求关于的函数关系．

②当时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①；②

【解析】

（1）当a=1时，CG=1，BC=3，GC=2，先由矩形的性质及已知证得，求出CF=AD=BC=3，再证得得，然后由等高的面积比等于相似比求得的面积；

（2）分两种情况：①，②，利用相似三角形的判定与性质求解即可；

（3）①由和可证得，根据同底的三角形面积比等于相似比即可求解关于的函数关系；

②由已知证得，得到，过O作OH⊥AD于H，由勾股定理得关于a的方程，解之得到AD，即可求得.

（1）当a=1时，CG=1，BC=3，GC=2，

矩形中，，

，AD=BC=3，

又，

，

，

∴CF=AD=3，

，

∵,

∴，

，

∵ΔAOG底边OG上的高与ΔAGD底边GD的高相等，

（2）

分两种情形讨论

情形①：如图1，，

∵

∴，又AB=8，

，

易证，

，

，，

易证，

∴

情形②：如图2，，

∵∠AGB+∠BAG=90，∠AGB+∠DGC=90，

∴∠BAG=∠DGC，

（3）①∵，

∴,

又

∴AE=EF，

又

，

②，

，即，

过O作OH⊥AD于H，则有

，

，

∴AD=BC=12，

.