Question

【题目】如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(﹣1，0)，OB=OC=3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x=2对称．

（1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式；

（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+3，抛物线L2的解析式为y=-(x-3)2+4；（2）存在P(2，3)，Q(5，0)或P(，)，Q(，)，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．

【解析】

（1）用待定系数法求抛物线L1的解析式并配方成顶点式，得到抛物线L1的顶点坐标D；由抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称可得两抛物线开口方向、大小相同，且两顶点关于直线x＝2对称，因此求得抛物线L2的顶点D'，进而得到抛物线L2的顶点式；
（2）由于BC为边，以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，所以有两种情况：①BQ∥PC，BQ＝PC；②BP∥CQ，BP＝CQ．因为可把点B、C之间看作是向左（或右）平移3个单位，再向上（或下）平移3个单位得到，所以点P、Q之间也有相应的平移关系，故可由点P坐标（t，t＋2t＋3）的t表示点Q坐标，再把点Q坐标代入抛物线L2解方程即求得t的值，进而求得点P、Q坐标．

（1）∵A(﹣1，0)，

∴OB=OC=3OA=3，

∴B(3，0)，C(0，3)

∵抛物线L1：y=ax2+bx+c经过点A、B、C，

∴，解得：，

∴抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴抛物线L1的顶点D(1，4)，

∵抛物线L2与抛物线L1关于直线x=2对称，

∴两抛物线开口方向、大小相同，抛物线L2的顶点D'与点D关于直线x=2对称，

∴D'(3，4)，

∴抛物线L2的解析式为y=-(x-3)2+4；

（2）存在满足条件的P、Q，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，设抛物线L1上的P(t，-t2+2t+3)，

①若四边形BCPQ为平行四边形，如图1，

∴BQ∥PC，BQ=PC，

∴BQ可看作是CP向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，

∴Q(t+3，-t2+2t)，

∵点Q在抛物线L2上，

∴﹣t2+2t=-(t+3-3)2+4，解得：t=2，

∴P(2，3)，Q(5，0)；

②若四边形BCQP为平行四边形，如图2，

∴

BP∥CQ，BP=CQ，

∴CQ可看作是BP向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到的，

∴Q(t﹣3，-t2+2t+6)，

∴﹣t2+2t+6=-(t-3-3)2+4，解得：t，

∴P(，)，Q(，)；

综上所述：存在P(2，3)，Q(5，0)或P(，)，Q(，)，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．