Question

4．在等边△ABC中，点E是边AB上一点，ED=EC
（1）求证：AE=BD；
（2）当EG=GC且AG=1.5时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（2）过C作CH∥AB交AG的延长线于H，根据平行线的性质得到∠EAG=∠H，∠ABC=∠BCH=60°，推出△AEG≌△CGH，根据全等三角形的性质得到AE=CH，AG=GH=1.5，由（1）知BD=AE，证得△ABD≌△ACH，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，过点E作EF∥BC交AC于点F，如图1所示：
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠EDB+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠ECF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD；

（2）如图2，过C作CH∥AB交AG的延长线于H，
∴∠EAG=∠H，∠ABC=∠BCH=60°，
在△AEG与△HCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠H}\\{∠AGE=∠CGH}\\{EG=CG}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CGH，
∴AE=CH，AG=GH=1.5，
由（1）知BD=AE，
∴BD=CH，
∵∠ABD=∠ACH=120°，
在△ADB与△AHC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACH}\\{BD=CH}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH，
∴AD=AH=2AG=3．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．