Question

对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。已知点D（，），E（0，－2），F（，0）

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是       ；

②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）①D，E②0≤m≤（2）r≥1

【解析】解：（1）①D，E。

②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°。

由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，

连接BC，则，

∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r。

由（1），考虑临界点位置的P点，

如图3，

点P到原点的距离OP=2×1=2，

过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，

则。

∴∠OGF=60°。

∴OH=OGsin60°=，。

∴∠OPH=60°。可得点P₁与点G重合。

过点P₂作P2M⊥x轴于点M，可得∠P₂OM=30°，

∴OM=OP2cos30°=。

∴若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P₁P₂上。

∴0≤m≤。

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点。

考虑临界情况，如图4，

即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，此时，r=1。

∴若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1。

（1）①根据关联点的定义，得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系：

如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，

∵⊙O的半径为1，∴RO=1。

∵EO=2，∴∠OER=30°。

根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°。

∴E点是⊙O的关联点。

∵D（，），E（0，－2），F（2，0），

∴OF＞EO，DO＜EO。

∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°。故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E。

②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围。

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围。