Question

已知半径为5的⊙O₁交直线y=x+2于A（0，2）、C两点，交y轴于B（0，10），CD是⊙O₁的直径，若双曲线y=

k

x

（x＜0）过点D，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：如图所示，由O₁Q垂直于AB，利用垂径定理得到Q为AB中点，在直角三角形BO₁Q中，利用勾股定理求出O₁Q的长，确定出O₁坐标，联立直线y=x+2与圆方程，求出C坐标，由O₁与C坐标确定出直线O₁C解析式，与圆方程联立求出D坐标，代入反比例解析式即可确定出k的值．

解答：解：如图所示，由O₁Q⊥AB，得到Q为AB的中点，
∵A（0，2），B（0，10），
∴BQ=AQ=4，即OQ=AQ+OA=4+2=6，
∴Q（0，6），
在Rt△O₁BQ中，O₁B=5，BQ=4，
根据勾股定理得：O₁Q=3，
∴O₁（3，6），
圆的方程为（x-3）²+（y-6）²=25，与直线y=x+2联立得：

(x-3)2+(y-6)2=25 y=x+2

，
解得：

x=0 y=2

或

x=7 y=9

，
∴C（7，9），
设直线CO₁解析式为y=mx+n，
把O₁与C坐标代入得：

3m+n=6 7m+n=9

，
解得：m=

3

4

，n=

15

4

，
∴直线CO₁解析式为y=

3

4

x+

15

4

，
与圆方程联立得：

y= 3 4 x+ 15 4 (x-3)2+(y-6)2=25

，
解得：

x=7 y=9

或

x=-1 y=3

，
∴D坐标为（-1，3），
把D（-1，3）代入y=

k

x

得：k=-3．
故答案为：-3．

点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，直线方程与圆的交点坐标，垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．