Question

【题目】如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC下点D，DE⊥AB于点E

（1）求证：AE＝3EB；

（2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE+PF的最小值及此时BP的长；

（3）在（2）的条件下，连接EF，若AD＝，当PE+PF取最小值时，△PEF的面积是　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PE+PF的最小值＝6，BP=2；（3）2

【解析】

（1）解直角三角形求出BE，AE即可判断．

（2）如图2中，延长DF到H，使得DH＝DF，连接EF，连接EH交BC于点P，此时PE+PF的值最小．证明∠HEF＝90°，解直角三角形求出EH即可解决问题．

（3）证明△PBE是等边三角形，求出PE，EF即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠BAC＝60°

∵AD⊥BC，

∴BD＝DC＝4，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，∠BDE＝30°，

∴BE＝BD＝2，

∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6，

∴AE＝3BE．

（2）解：如图2中，延长DF到H，使得DH＝DF，连接EF，连接EH交BC于点P，此时PE+PF的值最小．

∵∠AED＝90°，AF＝FD，

∴EF＝AF＝DF，

∵DF＝DH，

∴DE＝DF＝DH，

∴∠FEH＝90°，

∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝4，∠B＝60°，

∴AD＝BDtan60°＝4，

∵∠BAD＝∠BAC＝30°，FE＝FA，

∴∠FEA＝∠FAE＝30°，

∴∠EFH＝60°，∠H＝30°，

∵FH＝AD＝4，

∴EH＝FHcos30°＝6，

∴PE+PF的最小值＝PE+PH＝EH＝6，

∵PD＝DHsin30°＝2，

∴BP＝BD﹣PD＝2．

（3）解：如图2中，∵BE＝BP＝2，∠B＝60°，

∴△BPE是等边三角形，

∴PE＝2，

∵∠PEF＝90°，EF＝AF＝DF＝2，

∴S△PEF＝PEEF＝×2×2＝2．