Question

12．已知：△ABC是等边三角形．
（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD=CE，BE与CD交于点F． 试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD=CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS证明△BCD≌△CBE，得出∠BCD=∠CBE，由等角对等边即可得出BF=CF．
（2）设∠BCD=∠CBE=x，则∠DBF=60°-x，分三种情况：①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB＞∠A，证出∠FBD＜60°，得出FD=FB的情况不存在；
②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，得出方程60°-x=2x，解方程即可得出结果；
③若BD=BF，则∠BDF=∠BFD=2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．

解答 解：（1）BF=CF；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
在△BCD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}&{\;}\\{∠ABC=∠ACB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠BCD=∠CBE，
∴BF=CF．
（2）由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，
设∠BCD=∠CBE=x，
∴∠DBF=60°-x，
若△BFD是等腰三角形，分三种情况：
①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB＞∠A，
∴∠FBD=∠FDB＞60°，
但∠FBDxy∠ABC，
∴∠FBD＜60°，
∴FD=FB的情况不存在；
②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，
∴60°-x=2x，
解得：x=20°，
∴∠FBD=40°；
③若BD=BF，如图所示：
则∠BDF=∠BFD=2x，
在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°-x+2x+2x=180°，
解得：x=40°，
∴∠FBD=20°；
综上所述：∠FBD的度数是40°或20°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；本题（2）有一定难度，需要通过进行分类讨论才能得出结果．