Question

如果两个多边形的每个对应角相等，每条对应边成比例，那么我们就称这两个多边形相似，相似的两个矩形中心重合，如图放置在第一象限，他们的长（较长边）与宽（较短边）之比为k，且他们的长与宽分别与x轴和y轴平行，直线y=mx+n（m＞0）分别交两个矩形的边于点P，Q，M，N，则线段PQ与MN之比为

 

．（用k，m，n表示）

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：分别过点N、P作矩形的边的垂线NA、PB，设外面矩形的宽为a，里面矩形的宽为b，然后表示出NA、PB，再根据直线解析式表示出MA、QB，然后利用勾股定理表示出PQ，MN，再求出即可．

解答：解：如图，过点N、P作矩形的边的垂线NA、PB，
设外面矩形的宽为a，里面矩形的宽为b，
∵两矩形的中心重合，
∴NA=

1

2

（a-b），PB=

1

2

（ka-kb），
∵直线解析式为y=mx+n，
∴MA=

1

2m

（a-b）、QB=

m

2

（ka-kb），
由勾股定理得，PQ=

PB2+QB2

=

[ 1 2 (ka-kb)]2+[ m 2 (ka-kb)]2

=

k(a-b)

2

m2+1

，
MN=

MA2+NA2

=

[ 1 2m (a-b)]2+[ 1 2 (a-b)]2

=

1

2

（a-b）

m2+1

m

，
所以，PQ：MN=

k(a-b)

2

m2+1

：

1

2

（a-b）

m2+1

m

=mk．
故答案为：mk．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，勾股定理，难点在于理解一次函数的比例系数的意义，关键在于作辅助线构造出直角三角形并利用比例系数m表示出直角三角形的边．