Question

7．如图1，A（a，0），B（0，b），满足：a+b=$\sqrt{b-4}$+$\sqrt{4-b}$．

（1）求A、B的坐标．
（2）如图1，点D是A点左侧的x轴上一点，连接BD，以BD为直角边作等腰直角△BDE．连接AB、BE、EA，EA交BD于点G：
①试判断△ABE的形状，并证明你的结论．
②如图2，若EA平分∠BED，试求EG的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出$\left\{\begin{array}{l}{b-4≥0}\\{4-b≥0}\end{array}\right.$，求出b=4．得出a+b=0．a=-4，即可得出A、B的坐标．
（2）①由AAS证明△EHD≌△DOB，得出DH=OB=OA=4，EH=OD．证出EH=AH．得出△EHA为等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质得出∠EAH=45°=∠BAO．得出∠EAB=90°即可．
②延长BA、ED相交于点H，由ASA证明△BEA≌△HEA，得出HA=BA=4$\sqrt{2}$．得出BH=2AB=8$\sqrt{2}$．证出∠DEG=∠DBH．由ASA证明△EDG≌△BDH，得出EG=BH=8$\sqrt{2}$即可．

解答 解：（1）∵根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b-4≥0}\\{4-b≥0}\end{array}\right.$，
解得：b=4．
此时$\sqrt{b-4}$=$\sqrt{4-b}$=0，
∵a+b=$\sqrt{b-4}$+$\sqrt{4-b}$，
∴a+b=0．
∴a=-4，
∴A（-4，0）、B（0，4）．
（2）①△ABE是直角三角形；理由如下：
如图1，过点E作EH⊥x轴于点H．则∠EDH+∠DEH=90°．
∵∠EDB=90°．
∴∠EDH+∠BDO=90°．
∴∠BDO=∠DEH．
在△EHD和△DOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEH=∠BDO}&{\;}\\{∠DHE=∠BOD=90°}&{\;}\\{DE=BD}&{\;}\end{array}\right.$
∴△EHD≌△DOB（AAS）．
∴DH=OB=OA=4，EH=OD．
而AH=DH+AD=OA+AD=OD．
∴EH=AH．
∴△EHA为等腰直角三角形．
∴∠EAH=45°=∠BAO．
∴∠EAB=90°．
∴△ABE为直角三角形．
②如图2，延长BA、ED相交于点H．
∵EA平分∠BEH．
∴∠HEA=∠BEA．
由①得：∠EAB=90°=∠EAH．
在△BEA和△HEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠EAH}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\\{∠BEA=∠HEA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△HEA（ASA）．
∴HA=BA=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．∴BH=2AB=8$\sqrt{2}$．
∵∠EDG=90°=∠GAB．且∠EGD=∠BGA．
∴∠DEG=∠DBH．
在△EDG和△BDH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDG=∠BDH}&{\;}\\{DE=BD}&{\;}\\{∠DEG=∠DBH}&{\;}\end{array}\right.$
∴△EDG≌△BDH（ASA）．
∴EG=BH=8$\sqrt{2}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、二次根式的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．