Question

6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CE=1，sinF=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据OA=OD和角平分线性质得出∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，得出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据平行线得出BD=CD，根据切线的性质得出∠BDF=∠BAD，进而得出∠EDC=∠CAD，即可得出AD⊥DB，根据垂直平分线的性质求得AB=AC，从而列出$\frac{8}{5}$x+1=2x，求出即可．

解答 解：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAE，
又∵∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为x．
∵OD∥AE，OA=OB，
∴BD=CD，
∵EF是⊙O的切线；
∴∠BDF=∠BAD，
∵∠BAD=∠CAD，∠BDF=∠EDC，
∴∠EDC=∠CAD，
∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥DB，
∴AC=AB，
∵sinF=$\frac{3}{5}$，
∴OF=$\frac{5}{3}$OD=$\frac{5}{3}$x，
∴BF=$\frac{5}{3}$x-x=$\frac{2}{3}$x，AF=$\frac{2}{3}$x+2x=$\frac{8}{3}$x，
∴AE=$\frac{3}{5}$AF=$\frac{3}{5}$×$\frac{8}{3}$x=$\frac{8}{5}$x，
∵AC=AB，
∴AE+EC=2x，
即$\frac{8}{5}$x+1=2x，
解得：x=$\frac{5}{2}$．
∴⊙O的半径为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、解直角三角形、角平分线性质、平行线的性质和判定，解（1）的关键是求出∠ODE=90°，解（2）的关键是得出关于x的方程．