Question

14．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连结AC，BC．作∠APC的平分线交AC于点D，交BC于点E．
（1）求证：△CED为等腰直角三角形；
（2）若∠CPA=30°，求$\frac{PD}{PE}$，$\frac{BE}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OC，根据已知条件得到∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，根据切线的性质得到OC⊥PC，推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°；根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到$\frac{PC}{OC}=\frac{PC}{BC}=\frac{PC}{PB}$$\sqrt{3}$，由PD平分∠APC，得到∠CPD=∠DPA，推出△PCD∽△PEB，根据相似三角形的性质得到$\frac{PD}{PE}=\frac{BE}{CD}=\frac{PC}{PB}$=$\sqrt{3}$，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）如图，连接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△CED为等腰直角三角形；

（2）∵PC是切线，
∴∠OCP=90°，
∵∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°=$\frac{PC}{OC}=\frac{PC}{BC}=\frac{PC}{PB}$$\sqrt{3}$，
∵PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，
∵∠PEB=∠CED=∠CDE=45°，
∴△PCD∽△PEB，
∴$\frac{PD}{PE}=\frac{BE}{CD}=\frac{PC}{PB}$=$\sqrt{3}$，
∵∠A=∠PCB=∠CPA=30°，
∴AC=PC=$\sqrt{3}$BC，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BE}{AC-CD}$=$\frac{BE}{\sqrt{3}BC-CE}$=$\frac{BE}{\sqrt{3}（BE+\sqrt{3}BE）-\sqrt{3}BE}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．