Question

8．一列数a₁，a₂，a₃，…满足条件：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$（n≥2，且n为整数），则a₂₀₁₇=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$，
∴a2=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
a3=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
a4=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
…
这列数每3个数为一循环周期，
∵2017÷3=672…1，
∴a₂₀₁₇=a₁=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了数字变化规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，解题时注意运用a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$进行计算．