Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，A（8，0），C（0，4），AB=5，BD⊥OA于D．现有一动点P从点A出发，以每秒一个单位长的速度沿AO方向，经O点再往OC方向移动，最后到达C点．设点P移动时间为t秒．
（1）求点B的坐标；
（2）当t为多少时，△ABP的面积等于13；
（3）当t为多少时，△ABP是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC是直角梯形，
∴∠AOC=90°．
∵BD⊥OA，
∴OC∥BD．
∵BC∥OA，
∴四边形OABC是矩形，
∴OC=BD，BC=OD．
∵A（8，0），C（0，4），
∴OA=8，OC=BD=4．
∵AB=5，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD=3，∴BC=OD=5，
∴B（5，4）；

（2）当P点在OA上时，=13，
AP=6.5，t=6.5；
当P点在OC上时，PO=t-8，CP=4-t+8=12-t
∴（5+8）×4÷2-5×（12-t）÷2-（t-8）×8÷2=13
解得t=10．
故当t为6.5秒或10秒时，△ABP的面积等于13；

（3）若P点在OA上，当AP=AB=5，即t=5时，△ABP是等腰三角形
当PB=AB=5时，即t=6时，△ABP是等腰三角形
当PB=PA时，PD=t-3，PB=t，由勾股定理，得
t=时，△ABP是等腰三角形，
当P，C重合时，t=12，
故t=、5、6、12．
分析：（1）由已知条件可以得出△ADB是直角三角形，利用勾股定理求得AD，BD的值，从而求出B点的坐标．
（2）当点P移动t秒时，AP=t，由三角形的面积公式建立等量关系就可以求出t值．
（3）当AP=AB、PB=AB或PA=PB时根据等腰三角形的性质建立等量关系可以求出其t值．
点评：本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定及性质，点的坐标的确定，等腰三角形的判定及性质，三角形的面积的运用．