【题目】在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN
①试说明:;
②若∠ABC=60°,AM=4,求点M到AD的距离.
(2)如图2,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.
【答案】(1)①见解析;②;(2)x为6或18-或12时,△ADN为等腰三角形.
【解析】试题(1)根据菱形的四条边都相等可得AB=AD,对角线平分一组对角可得∠BAN=∠DAN,然后利用“边角边”证明;
(2)根据有一个角是直角的菱形的正方形判断出四边形ABCD是正方形,再根据正方形的性质点M与点B、C重合时△ADN是等腰三角形;AN=AD时,利用勾股定理列式求出AC,再求出CN,然后求出△ADN和△CMN相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出CM,然后求出BM即可得解.
试题解析:
(1)证明:在菱形ABCD中,AB=AD,∠BAN=∠DAN,
在△ABN和△ADN中,
∴△ABN≌△ADN(SAS);
(2)∵∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形,
∴当x=6时,点M与点B重合,AN=DN,△ADN为等腰三角形,
当x=12时,点M与点C重合,AD=DN,△ADN为等腰三角形,
当AN=AD时,在Rt△ACD中,,
CN=AC-AN=,
∵正方形ABCD的边BC∥AD,
∴△ADN∽△CMN,
∴,
即,
解得CM=,
∴BM=BC-AM=6-()=12-,
x=AB+BM=6+12-=18-,
综上所述,x为6或18-或12时,△ADN为等腰三角形.
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【题目】如图,数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度,他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成30°角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度约为________米(结果保留根号)
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【题目】如图,AB是半径为4的⊙O的直径,P是圆上异于A,B的任意一点,∠APB的平分线交⊙O于点 C,连接AC和BC,△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F,则EF的长是________
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【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D,AD=9,BD=4,以C为圆心,CD为半径的圆与⊙O相交于P,Q两点,弦PQ交CD于E,则PEEQ的值是( )
A. 24 B. 9 C. 36 D. 27
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【题目】如图1,在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-1,0),AE=4
(1)求点C的坐标;
(2)连接MG、BC,求证:MG∥BC
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC是正方形,点A的坐标为(1,1),是以点B为圆心,BA为半径的圆弧;是以点O为圆心,OA1为半径的圆弧,是以点C为圆心,CA2为半径的圆弧,是以点A为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点B,O,C,A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”,则点A2 018的坐标是________.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中不正确的是( )
A. c<0
B. y的最小值为负值
C. 当x>1时,y随x的增大而减小
D. x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根
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【题目】盒子里装有12张红色卡片,16张黄色卡片,4张黑色卡片和若干张蓝色卡片,每张卡片除颜色外都相同,从中任意摸出一张卡片,摸到红色卡片的概率是0.24.
(1)从中任意摸出一张卡片,摸到黑色卡片的概率是多少?
(2)求盒子里蓝色卡片的个数.
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