【题目】如图1,在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-1,0),AE=4
(1)求点C的坐标;
(2)连接MG、BC,求证:MG∥BC
【答案】(1)(0,4).(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求C点的坐标,即求出OC的长.根据垂径定理可得出弧CD=2弧AC,而题中已经告诉了C是弧AE的中点,即弧AE=2弧AC,即弧CD=弧AE,因此CD=AE,那么OC=AE=4,即可求出C点坐标;
(2)由于无法直接证明∠OMG=∠OBC来得出两直线平行,因此可通过相似三角形来求解,可设出圆的半径,然后分别求出OG、OM、OB的长,然后通过证OG、OM,OC、OB对应成比例来得出△OMG与△OBC相似来得出∠OMG=∠OBC,进行得出所求的结论.
试题解析:(1)∵直径AB⊥CD,
∴CO=CD,,
∵C为的中点,
∴,
∴,
∴CD=AE,
∴CO=CD=4,
∴C点的坐标为(0,4).
(2)设半径AM=CM=r,则OM=r-2,
由OC2+OM2=MC2得:
42+(r-2)2=r2,
解得:r=5,
∴OM=r-OA=3
∵∠AOC=∠ANM=90°,
∠EAM=∠MAE,
∴△AOG∽△ANM,
∴,
∵MN=OM=3,
即,
∴OG=
∵,,
∴,
∵∠BOC=∠BOC,
∴△GOM∽△COB,
∴∠GMO=∠CBO,
∴MG∥BC.
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【题目】如图,BC为⊙O的直径,A为⊙O上的点,以BC、AB为边作ABCD,⊙O交AD于点E,连结BE,点P为过点B的⊙O的切线上一点,连结PE,且满足∠PEA=∠ABE.
(1)求证:PB=PE;
(2)若sin∠P=, 求的值.
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【题目】问题情境:
在综合实践课上,张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动,张老师拿着一张矩形纸片ABCD,其中AB=acm, AD=bcm, 如图1,先沿对角线BD折叠,点C落在点E的位置,BE交AD于点F.
操作发现:
(1)“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条;
(2)如图2.“雄鹰”小组将图1再折叠一次,使点D与点A重合,得到折痕GH,GH交AD于点M,发现△DGH是等腰三角形,请你证明这个结论;
实践探究:
(3)“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照(2)中“雄鹰”小组的作法操作,发现点E和点G重合,,如图3,试探究“创新”小组准备的矩形纸片中a与b满足的数量关系;
(4)”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题:当a与b满足什么关系时,点G是DE的中点?请你直接出a与b满足的关系.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(﹣1,0),对称轴为直线x=﹣2.
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的另一点.已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式,并指出顶点E的坐标;
(3)点P是(2)中抛物线对称轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.
①当t为 秒时,△PAD的周长最小?当t为 秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形?(结果保留根号)
②点P在运动过程中,是否存在一点P,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN
①试说明:;
②若∠ABC=60°,AM=4,求点M到AD的距离.
(2)如图2,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.
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【题目】如图,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.
(1)求证:Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=,求的值
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【题目】直线是同一平面内的一组平行线.
(1)如图1.正方形的4个顶点都在这些平行线上,若四条直线中相邻两条之间的距离都是1,其中点,点分别在直线和上,求正方形的面积;
(2)如图2,正方形的4个顶点分别在四条平行线上,若四条直线中相邻两条之间的距离依次为.
①求证:;
②设正方形的面积为,求证.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,顶点P(m,n).给出下列结论:①2a+c<0;②若(﹣,y1),(﹣,y2),(,y3)在抛物线上,则y1>y2>y3;③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解,则k>c﹣n;④当n=﹣ 时,△ABP为等腰直角三角形.其中正确结论是________(填写序号).
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