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【题目】问题情境:

在综合实践课上,张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动,张老师拿着一张矩形纸片ABCD,其中AB=acm, AD=bcm, 如图1,先沿对角线BD折叠,点C落在点E的位置,BEAD于点F.

操作发现:

(1)“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条

(2)如图2.“雄鹰”小组将图1再折叠一次,使点D与点A重合,得到折痕GH,GHAD于点M,发现△DGH是等腰三角形,请你证明这个结论;

实践探究:

(3)“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照(2)中“雄鹰”小组的作法操作,发现点E和点G重合,,如图3,试探究“创新”小组准备的矩形纸片中ab满足的数量关系;

(4)”爱心小组在其他小组的基础上提出问题:当ab满足什么关系时,点GDE的中点?请你直接出ab满足的关系.

【答案】(1)BF=DF,(2)△DGH是等腰三角形,(3)b=(4)a=b

【解析】

(1)根据折叠的条件,证明△AFB≌△EFD(AAS)即可解题,

(2)找到对称轴,证明GH平行CD,利用内错角相等得∠GHD=∠HDC,由折叠得∠GDH=∠GHD,等量代换得∠GDH=∠GHD,等角对等边即可解题.

(3)Rt△BED中利用斜边中线等于斜边一半,BD=2EH,根据已知,用代数式表示出BDEH的长即可解题,

(4)根据题意,证明四边形ABCD是正方形,即可直接写出a=b的结论.

:(1)BF=DF,

由折叠可知:AB=DE,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,

∴△AFB≌△EFD(AAS)

∴BF=DF,

(2)(1)可知∠GDH=∠HDC

由图可知GH为对称轴,点D和点A关于GH对称,即GH垂直平分AD,

∵四边形ABCD是矩形,AD⊥CD,

∴GH∥CD,

∴∠GHD=∠HDC

∴∠GDH=∠GHD

∴△DGH是等腰三角形,

(3)由题可知,点H为对角线BD上的中点,EH=ED,

Rt△BED中,BD=2EH(斜边中线等于斜边一半

∵AB=acm, AD=bcm,

∴EH=ED=AB= a,BD=

=a,整理得:b=

(4)a=b

理由:根据题意可知,GH为中位线,GH∥EB,点A与E重合,此时图形为正方形,

故a=b

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