【题目】问题情境:
在综合实践课上,张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动,张老师拿着一张矩形纸片ABCD,其中AB=acm, AD=bcm, 如图1,先沿对角线BD折叠,点C落在点E的位置,BE交AD于点F.
操作发现:
(1)“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条;
(2)如图2.“雄鹰”小组将图1再折叠一次,使点D与点A重合,得到折痕GH,GH交AD于点M,发现△DGH是等腰三角形,请你证明这个结论;
实践探究:
(3)“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照(2)中“雄鹰”小组的作法操作,发现点E和点G重合,,如图3,试探究“创新”小组准备的矩形纸片中a与b满足的数量关系;
(4)”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题:当a与b满足什么关系时,点G是DE的中点?请你直接出a与b满足的关系.
【答案】(1)BF=DF,(2)△DGH是等腰三角形,(3)b=(4)a=b
【解析】
(1)根据折叠的条件,证明△AFB≌△EFD(AAS)即可解题,
(2)找到对称轴,证明GH平行CD,利用内错角相等得∠GHD=∠HDC,由折叠得∠GDH=∠GHD,等量代换得∠GDH=∠GHD,等角对等边即可解题.
(3)在Rt△BED中利用斜边中线等于斜边一半,得BD=2EH,根据已知,用代数式表示出BD和EH的长即可解题,
(4)根据题意,证明四边形ABCD是正方形,即可直接写出a=b的结论.
解:(1)BF=DF,
由折叠可知:AB=DE,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,
∴△AFB≌△EFD(AAS)
∴BF=DF,
(2)由(1)可知∠GDH=∠HDC
由图可知:GH为对称轴,点D和点A关于GH对称,即GH垂直平分AD,
∵四边形ABCD是矩形,AD⊥CD,
∴GH∥CD,
∴∠GHD=∠HDC
∴∠GDH=∠GHD
∴△DGH是等腰三角形,
(3)由题可知,点H为对角线BD上的中点,EH=ED,
在Rt△BED中,BD=2EH(斜边中线等于斜边一半)
∵AB=acm, AD=bcm,
∴EH=ED=AB= a,BD=
∴=a,整理得:b=
(4)a=b
理由:根据题意可知,GH为中位线,GH∥EB,点A与E重合,此时图形为正方形,
故a=b
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:①abc>0;②a﹣b+c<0;③2a+b﹣c<0;④4a+2b+c>0,⑤若点(﹣ ,y1)和( ,y2)在该图象上,则y1>y2.其中正确的结论是_____(填入正确结论的序号)
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【题目】四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【题目】如图,四边形ACBE内接于⊙O,AB平分∠CAE,CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D.
(1)如图①,求证:BD=BE;
(2)如图②,若F是弧AC的中点,连接BF,交CD于点M,∠CMF=2∠CBF,连接FO、OC,求∠FOC的度数;
(3)在(2)的条件下,连接OD,若BC=4 ,OD=7,求BF的长.
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【题目】(6分)现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1,﹣2,1,2,3.先将标有数字﹣2,1,3的小球放在第一个不透明的盒子里,再将其余小球放在第二个不透明的盒子里.现分别从两个盒子里各随即取出一个小球.
(1)请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果;
(2)求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率.
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【题目】如图,AB是半径为4的⊙O的直径,P是圆上异于A,B的任意一点,∠APB的平分线交⊙O于点 C,连接AC和BC,△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F,则EF的长是________
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【题目】已知a满足以下三个条件:①a是整数;②关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2=0有两个不相等的实数根;③反比例函数的图象在第二、四象限.
(1)求a的值.
(2)求一元二次方程ax2+4x﹣2=0的根.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-1,0),AE=4
(1)求点C的坐标;
(2)连接MG、BC,求证:MG∥BC
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【题目】如图,禁渔期间,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只,测得A、B两处距离为99海里,可疑船只正沿南偏东53°方向航行.我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截,2小时后刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的速度.
(参考数据:sin27°≈, cos27°≈, tan27°≈, sin53°≈, cos53°≈, tan53°≈)
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