Question

13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BD．
正确的是①④（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．

解答 解：①在△ABC和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•AO+$\frac{1}{2}$BD•CO=$\frac{1}{2}$BD•（AO+CO）=$\frac{1}{2}$AC•BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④；
故答案为：①④．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，结论①可以利用等边对等角，由等量加等量和相等来解决．