Question

1．已知正方形ABCD的边长为3cm，点P从点B出发，沿折线BCD方向以1cm/秒的速度向终点D匀速运动，点P的运动时间为t秒，AP交BD于点E．
（1）如图1，当点P在边BC上运动时，AP的延长线与DC的延长线交于点F，G是PF的中点．
求证：①△ABE≌△CBE
②∠ECG=90°
（2）如图2，探究：在点P的运动过程中，当t为何值时，△ECP为等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性质可知AB=BC，∠ABD=∠CBD，然后依据SAS证明△ABE≌△CBE即可；
②由正方形的性质可知：∠BCD=90°∠1=∠F，由全等三角形的性质可知∠1=∠2，于是得到∠F=∠2，由直角三角形斜边上中线的性质可知GC=GF，从而得到∠3=∠F，故此∠2=∠3 由∠2+∠4=∠3+∠4，可知∠ECG=∠PCF=90°；
（2）如图2所示，当点P在BC上时，由等腰三角形的性质可知∠5=∠2，由三角形的外角的性质可知∠6=2∠2，从而可知∠6=2∠1，于是可求得∠1=30，在△ABP中由勾股定理可求得t的值；当点P在CD边上时，如图3所示，先证明△ADE≌△CDE，从而得到∠DAE=∠DCE，由PE=PC可知：∠PEC=∠PCE由三角形外角的性质求求得∠APD=2∠DAP，从而得到∠DAP=30°，故此可求得DP=$\sqrt{3}$，于是可求得t=6-$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）证明①∵ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD．
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE．
②如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BCD=90°∠1=∠F．
∵△ABE≌△CBE．
∴∠1=∠2
∴∠F=∠2．
∵在Rt△CFP中G是PF的中点，
∴GC=GF．
∴∠3=∠F．
∴∠2=∠3．
∴∠2+∠4=∠3+∠4，即∠ECG=∠PCF=90°．
（2）当点P在BC边上时，如图2所示：

∵△ECP为等腰三角形，且∠EPC＞90°，
∴PC=PE．
∴∠2=∠5．
∵∠6=∠5+∠2，
∴∠6=2∠2=2∠1．
∵∠1+∠6=90°，
∴3∠1=90°．
∴∠1=30°．
∴AP=2BP=2t．
在Rt△ABP中，3²+t²=（2t）²，
解得：t=$\sqrt{3}$．
当点P在CD边上时如图3所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠CDE．
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDE}\\{ED=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE．
∠DAE=∠DCE．
∵△ECP为等腰三角形，且∠EPC＞90°，
∴∠PEC=∠PCE．
∵∠APD=∠DAE+∠DCE，
∴∠APD=2∠ECP．
∴∠APD=2∠DAP．
∴∠DAP=30°．
∴DP=AD×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．
∵DP=6-t，
∴6-t=$\sqrt{3}$
t=6-$\sqrt{3}$．
综上所述，当t=$\sqrt{3}$，或t=6-$\sqrt{3}$时，△ECP为等腰三角形．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，求得∠BAP=30°或∠DAP=30°是解题的关键．