Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．

∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，

∴∠BCN＋∠DCN＝90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM＋∠DCN＝90°，

∴∠BCN＝∠CDM，

又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，

∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；

∵△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，

又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM＝ON故②正确，

∵△OCM≌△OBN，

∴∠COM＝∠BON，

∴∠MON＝∠COB＝90°，

∴△MON是等腰直角三角形，

∵△AOD也是等腰直角三角形，

∴△OMN∽△OAD，故③正确，

∵AB＝BC，CM＝BN，

∴BM＝AN，

又∵Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，

∴AN2＋CM2＝MN2，

故④正确；

∴本题正确的结论有：①②③④，

故选：D．