【题目】如图,,点
在
上,
过点
,分别与
、
交于
、
,过
作
于
.
求证:
是
的切线;
若
与
相切于点
,
的半径为
,
,求
长.
【答案】(1)见解析;(2)8.
【解析】
(1)连接OD,由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由OB=OD,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到OD与AC平行,根据DF垂直于AC,得到DF垂直于OD,即可确定出DF为圆O的切线;
(2)连接OG,由AC为圆O的切线,利用切线的性质得到OG垂直于AC,利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形,且边长为3,设AB=AC=x,表示出OA与AG,在直角三角形AOG中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为AC的长.
(1)连接OD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,则DF为圆O的切线;
(2)连接OG.
∵AC与圆O相切,∴OG⊥AC,∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°,且OG=OD,∴四边形ODFG为边长为3的正方形,设AB=AC=x,则有AG=x﹣3﹣1=x﹣4,AO=x﹣3.
在Rt△AOG中,利用勾股定理得:AO2=AG2+OG2,即(x﹣3)2=(x﹣4)2+32,解得:x=8,则AC=8.
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【题目】如图抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求S△ABC的面积.
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【题目】如图,在等边中,
,现有两点
、
分别从点
、
同时出发,沿三角形的边运动,已知点
的速度为
,点
的速度为
.当点
第一次回到点
时,点
、
同时停止运动,设运动时间为
.
(1)当为何值时,
、
两点重合;
(2)当点、
分别在
、
边上运动,
的形状会不断发生变化.
①当为何值时,
是等边三角形;
②当为何值时,
是直角三角形;
(3)若点、
都在
边上运动,当存在以
为底边的等腰
时,求
的值.
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【题目】操作发现:如图,已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,AB=AC,AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点B,D,E在同一直线上,连接CE.
(1)如图1,若∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=55°,求证:△BAD≌△CAE;
(2)在(1)的条件下,求∠BEC的度数;
拓广探索:(3)如图2,若∠CAB=∠EAD=120°,BD=4,CF为△BCE中BE边上的高,请直接写出EF的长度.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列四个结论:①△CNB≌△DMC;②OM=ON;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2,其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起(如图1)固定△ABC不动,将△DEF沿线段AB向右平移.
(1)若∠A=60°,斜边AB=4,设AD=x(0≤x≤4),两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y,试求出y与x的函数关系式;
(2)在运动过程中,四边形CDBF能否为正方形,若能,请指出此时点D的位置,并说明理由;若不能,请你添加一个条件,并说明四边形CDBF为正方形?
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