【题目】如图,在等边中,,现有两点、分别从点、同时出发,沿三角形的边运动,已知点的速度为,点的速度为.当点第一次回到点时,点、同时停止运动,设运动时间为.
(1)当为何值时,、两点重合;
(2)当点、分别在、边上运动,的形状会不断发生变化.
①当为何值时,是等边三角形;
②当为何值时,是直角三角形;
(3)若点、都在边上运动,当存在以为底边的等腰时,求的值.
【答案】(1)当时,M、N两点重合;(2)①当时,是等边三角形;②当或时,是直角三角形;(3)当存在以为底边的等腰时,的值为8.
【解析】
(1)当两点重合时,点N运动的距离等于点M运动的距离加上AB的长,求解即可;
(2)①因可知要使是等边三角形,只需,据此建立方程求解即可;
②分和两种情况,再根据直角三角形的性质得出AM与AN的等量关系,据此建立方程求解即可;
(3)先画出图形,确认点M、N的位置,再利用三角形全等的判定定理与性质可得,据此列出方程求解即可.
(1)由题意得:当点第一次回到点时,运动时间
当M、N两点重合时,
解得
故当时,M、N两点重合;
(2)是等边三角形
点分别在边上运动
①要使是等边三角形,只需
因此,
解得
故当时,是等边三角形;
②要使是直角三角形,只需或
当时,
由直角三角形的性质得
因此,
解得
当时,
由直角三角形的性质得
因此,
解得
综上,当或时,是直角三角形;
(3)由(1)知,当时,M、N两点重合
此时,即重合时恰好在C处
此后点M、N都在BC边上运动,并且点N在点M前面
当是以MN为底边的等腰三角形时,如图所示:
,即
又是等边三角形
在和中,
又
则
解得
故当存在以为底边的等腰时,的值为8.
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【题目】某商店经销一种纪念品,11月份的营业额为2 000元.为扩大销售,12月份该商店对这种纪念品打九折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元.
(1)求这种纪念品11月份的销售单价;
(2)11月份该商店销售这种商品_______件;
(3)若11月份销售这种纪念品获利800元,求12月份销售这种纪念品获利多少元?
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【题目】已知边长为6的等边中,是高所在直线上的一个动点,连接,将线段绕点顺时针旋转得到,连接,则在点运动的过程中,当线段长度的最小值时,的长度为__________.
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【题目】如图,抛物线 与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴为=–1,P为抛物线上第二象限的一个动点.
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;
(2)当点P的纵坐标为2时,求点P的横坐标;
(3)当点P在运动过程中,求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标.
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【题目】如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形.
(1)在图2中的阴影部分面积可表示为 ,在图3中的阴影部分的面积可表示为 ,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是( )
A.
B.
C.
(2)根据你得到的等式解决下面的问题:
①计算:;
②解方程:
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=,∠B=,AC=1,BC=,AB=2,AC在直线l上,将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1,此时AP1=2;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=2+;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=3+…,按此顺序继续旋转,得到点P2016,则AP2016=( )
A. 2016+671B. 2016+672
C. 2017+671D. 2017+672
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【题目】如图,已知直线l//AB,l与AB之间的距离为2.C、D是直线l上两个动点(点C在D点的左侧),且AB=CD=5.连接AC、BC、BD,将△ABC沿BC折叠得到△A′BC.下列说法:①四边形ABDC的面积始终为10;②当A′与D重合时,四边形ABDC是菱形;③当A′与D不重合时,连接A′、D,则∠CA′D+∠BC A′=180°;④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形,则此矩形相邻两边之和为3或7.其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③
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【题目】在一个不透明的盒子中装有个形状大小完全一样的小球,上面分别有标号,,,用树状图或列表的方法解决下列问题:
将球搅匀,从盒中一次取出两个球,求其两标号互为相反数的概率.
将球搅匀,摸出一个球将其标号记为,放回后搅匀后再摸出一个球,将其标号记为.求直线不经过第三象限的概率.
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