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【题目】如图,在等边中,,现有两点分别从点同时出发,沿三角形的边运动,已知点的速度为,点的速度为.当点第一次回到点时,点同时停止运动,设运动时间为.

1)当为何值时,两点重合;

2)当点分别在边上运动,的形状会不断发生变化.

①当为何值时,是等边三角形;

②当为何值时,是直角三角形;

3)若点都在边上运动,当存在以为底边的等腰时,求的值.

【答案】1)当时,MN两点重合;(2)①当时,是等边三角形;②当时,是直角三角形;(3)当存在以为底边的等腰时,的值为8.

【解析】

1)当两点重合时,点N运动的距离等于点M运动的距离加上AB的长,求解即可;

2)①因可知要使是等边三角形,只需,据此建立方程求解即可;

②分两种情况,再根据直角三角形的性质得出AMAN的等量关系,据此建立方程求解即可;

3)先画出图形,确认点MN的位置,再利用三角形全等的判定定理与性质可得,据此列出方程求解即可.

1)由题意得:当点第一次回到点时,运动时间

MN两点重合时,

解得

故当时,MN两点重合;

2是等边三角形

分别在边上运动

①要使是等边三角形,只需

因此,

解得

故当时,是等边三角形;

②要使是直角三角形,只需

时,

由直角三角形的性质得

因此,

解得

时,

由直角三角形的性质得

因此,

解得

综上,当时,是直角三角形;

3)由(1)知,当时,MN两点重合

此时,即重合时恰好在C

此后点MN都在BC边上运动,并且点N在点M前面

是以MN为底边的等腰三角形时,如图所示:

,即

是等边三角形

中,

解得

故当存在以为底边的等腰时,的值为8.

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