Question

9．已知：如图△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，D为垂足，且sin∠BCD=$\frac{5}{8}$．求：
（1）$\frac{BC}{AB}$的值；
（2）若△ABC的周长为26，求S_△ABC的值．

Answer 1

分析 （1）如图，作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=$\frac{1}{2}$BC，根据三角形的内角和得到∠BAH=∠BCD，于是得到sin∠BAH=sin∠BCD=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$=$\frac{5}{8}$，即可得到结论；
（2）根据已知条件求出BC=10，AB=AC=8，由勾股定理得到AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{39}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC，
∵CD⊥AB，
∴∠AHB=∠BDC=90°，
∴∠BAH=∠BCD，
∴sin∠BAH=sin∠BCD=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$=$\frac{5}{8}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{4}$；

（2）∵△ABC的周长为26，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{4}$，
∴BC=10，AB=AC=8，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=5$\sqrt{39}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．