Question

【题目】如右图，为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，在点处切线交于点，下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）

①若，则弧的长为； ②若，则平分；

③若，则； ④无论点在弧上的位置如何变化，为定值．

Answer 1

【答案】②③④．

【解析】

试题解析：如图，连接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴弧的长为=2π，故①错误；

∵PD是⊙O的切线，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正确；

若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，

∴PD=OP=6，故③正确；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴，即CPCQ=CA2（定值），故④正确；

故答案为：②③④．