Question

14．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{9{+（12-x）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式$\sqrt{9{+（12-x）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+4}$的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

解答 解：（1）AC+CE=$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$+$\sqrt{{x}^{2}+4}$；

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数$\sqrt{9{+（12-x）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+4}$的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
即$\sqrt{9{+（12-x）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+4}$的最小值为13．
故代数式$\sqrt{9{+（12-x）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+4}$的最小值为13．

点评 此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如$\sqrt{9{+（12-x）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+4}$的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．