Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0＜α＜120°），得△A₁BC₁，交AC于点E，AC分别交A₁C₁、BC于D、F两点．

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求ED的长．

 

　

Answer 1

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；解直角三角形．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C，再根据旋转的性质可得∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，然后利用“角边角”证明△ABE和△C₁BF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF，从而得解；

（2）先根据旋转的性质求出∠ABC₁=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行求出AB∥C₁D，AD∥BC₁，证明四边形BC₁DA是平行四边形，又因为邻边相等，所以四边形BC₁DA是菱形；

（3）过点E作EG⊥AB于点G，等腰三角形三线合一的性质可得AG=BG=1，然后解直角三角形求出AE的长度，再利用DE=AD﹣AE计算即可得解．

【解答】解：（1）EA₁=FC．理由如下：

∵AB=BC，∴∠A=∠C，

∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A₁BC₁，

∴∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，

在△ABE和△C₁BF中，，

∴△ABE≌△C₁BF（ASA），

∴BE=BF，

∴A₁B﹣BE=BC﹣BF，

即EA₁=FC；

 

（2）四边形BC₁DA是菱形．理由如下：

∵旋转角α=30°，

∠ABC=120°，

∴∠ABC₁=∠ABC+α

=120°+30°=150°，

∵∠ABC=120°，AB=BC，

∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，

∴∠ABC₁+∠C₁=150°+30°=180°，

∠ABC₁+∠A=150°+30°=180°，

∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，

∴四边形BC₁DA是平行四边形，

又∵AB=BC₁，

∴四边形BC₁DA是菱形；

 

（3）过点E作EG⊥AB，

∵∠A=∠ABA₁=30°，

∴AG=BG=AB=1，

在Rt△AEG中，AE===，

由（2）知AD=AB=2，

∴DE=AD﹣AE=2﹣．

【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，难度不大，利用好旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，找出相等的线段是解题的关键．