Question

20．如图，菱形ABCD边长为5，tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，将菱形绕点B按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜∠DBA）得到菱形FBHE（点A的对应点为点F），EF与AD交于点M，连接BM．
（1）当AM=4时，求BM的长；
（2）求证：MB平分∠AME；
（3）连接CH并延长交AB的延长线于点G，当AG=12时，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数和菱形的边长为5得：BP=4，AP=3，再求PM的长，利用勾股定理求BM的长；
（2）作辅助线，证明PB=BN，证△ABP≌△FBN；最后结合角平分线的性质证得结论；
（3）如图2，过点M作MQ⊥AG于点Q，过C作CH⊥AG于点H，构建相似三角形△AMB∽△BCG，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得MQ的长度．结合已知条件tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，来求边AQ的长度，即可得到AM的长．

解答 解：（1）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，
在直角△AOM中，∵tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，OA=5，
∴BP=4，AP=3，
∵AM=4，
∴PM=AM-AP=4-3=1，
∴BM=$\sqrt{P{M}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$；

（2）如图1，过点A作AN⊥EF于点N，
∵在△ABP与△FBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠F}\\{∠APB=∠FNB=90°}\\{AB=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FBN（AAS），
∴BP=BN，
∴MB平分∠AME；
（3）如图2，过点M作MQ⊥AG于点Q，过C作CH⊥AG于点H，
由旋转可知：∠ABF=∠CBH=α，
∵BC=BH，
∴∠BCH=$\frac{180°-α}{2}$，
∵∠A=∠F，∠ATB=∠MTF，
∴∠ABF=∠FMT=α，
由（2）得：∠AMB=∠BME=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠AMB=∠BCH，
又∵AD∥BC，
∴∠A=∠CBG，
∴△AMB∽△BCG，
∴$\frac{MQ}{CH}$=$\frac{AB}{BG}$，
∵AG=12，AB=5，
∴BG=12-5=7，
∴$\frac{MQ}{4}=\frac{5}{7}$，
∴MQ=$\frac{20}{7}$，
∵tan∠DAB=$\frac{4}{3}$=$\frac{MQ}{AQ}$，
∴AQ=3×$\frac{20}{7}$÷4=$\frac{15}{7}$，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{A{Q}^{2}+M{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{15}{7}）^{2}+（\frac{20}{7}）^{2}}$=$\frac{25}{7}$．

点评 本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形以及勾股定理等知识点，解答该题的难点在于作出辅助线，构建相关的图形的性质．