【题目】如图,四边形ABCD是矩形,点P是对角线AC上一动点(不与点C和点重合),连接PB,过点P作交射线DA于点F,连接BF. 已知AD=3,CD=3,设CP的长为x,
(1)线段的最小值 ,当x=1时, ;
(2)如图,当动点运动到AC的中点时,与的交点为G,的中点为,求线段GH的长度;
(3)当点在运动的过程中,
①试探究是否会发生变化?若不改变,请求出大小;若改变,请说明理由;
②当为何值时,是等腰三角形?
【答案】(1),30°;(2);(3)①30°;②x=3或3
【解析】
(1)当BP最小时,即BP⊥AC,根据相似三角形的性质,可求出BP值,当x=1时,可得出△BPN∽△PMF,由此可得出tan∠FBP的值,则可得到∠FBP的值;
(2)可证BP垂直平分AP,求得FP=,证GH是Rt△FGP中线,则GH=FP;
(3)①过P作PN⊥BC交AD于M,可证△FMP∽△PNB,设PC=x,PN=,可求得NC,MP,BN长度,tan∠FBP===,即可求得∠FBP的大小;
②分三种情况讨论求解即可.
(1)当BP最小时,A与F重合,即BP⊥AC,
∵AD=3,CD=3,
∴AC=6,∠BAC=30°,
在Rt△ABC和Rt△APB中,∠BAC=∠PAB,
∴△ABC∽△APB,
∴=,
∴=,
∴BP=;
作PM⊥BC于N,交AD于M,
当x=1时,PN=,MP=,CN=,BN=,
∵∠BNP=∠PMF=∠BPM=90°,
∴∠FPM+∠PFM=90°,∠FPM+∠BPN=90°,
∴∠PFM=∠BPN,
∴△BPN∽△PMF,
∴===tan∠FBP=,
∴当x=1时,∠FBP=30°;
(2)∵P为AC中点,
∴AP=PC=AB=3,
∴∠ABP=∠APB=∠BAP=60°,
在Rt△ABF和Rt△PBF中,AB=BP,BF=BF,
∴Rt△ABF≌Rt△PBF,
∴AG=PG,∠AGB=∠PGB=90°,
∴BF垂直平分AP,
在Rt△BFP中,∠PBF=30°,BP=3,
∴PF=tan30°×3=,
∵H为PF中点,
∴GH为Rt△PGF的中线,
∴GH=PF=;
(3)①∠FBP=30°,
过P作PN⊥BC交AD于M,
∵∠PBN=∠FPM,∠BPN=∠PFM,
∴△FMP∽△PNB,
设CP=x,则PN=,NC=x,MP=3-x,BN=3-x,
∴tan∠FBP===,
∴∠FBP=30°;
②(i)若AF=FP,则∠FPA=∠FAP=30°,
∴AB=BP,且△ABP为等边三角形,
∴BF为△ABP垂直平分线,
∴AB=BP=3,即x=3;
(ii)若AP=FP,则∠APF=120°>90°(舍去);
(iii)若AP=AF,则∠CBP=∠CPB=75°,BC=PC,此时x=3.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A(﹣2,0),与y轴的正半轴交于点B,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,且AB=BC,点C的纵坐标为4.
(1)求直线AB的表达式;
(2)过点B作BD∥x轴,交反比例函数y=的图象于点D,求线段CD的长度.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,直线x=1为对称轴,以下结论①a<0,②b>0,③2a+b=0,④3a+c<0正确的有(填序号)_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边BC上,联结AD,以AD为一边作△ADE,满足AD=AE,∠DAE=∠BAC,联结EC.
(1)求证:CA平分∠DCE;
(2)如果AB2=BDBC,求证:四边形ABDE是平行四边形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC
①求证:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一份内为止).
(1)请用列表的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果;
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】新型冠状病毒肺炎疫情发生后,全社会积极参与疫情防控工作,某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务,安排甲、乙两个大型工厂完成.已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍,并且在独立完成60万只口罩的生产任务时,甲厂比乙厂少用5天.问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中A为直线y=x﹣1上一点,过原点O的直线与反比例函数y=﹣图象交于点B,C.若△ABC为等边三角形,则点A的坐标为_____.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com