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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,点P是对角线AC上一动点(不与点C和点重合),连接PB,过点P交射线DA于点F,连接BF 已知AD=3CD=3,设CP的长为x

1)线段的最小值 ,当x=1时,

2)如图,当动点运动到AC的中点时,的交点为G的中点为,求线段GH的长度;

3)当点在运动的过程中,

试探究是否会发生变化?若不改变,请求出大小;若改变,请说明理由;

为何值时,是等腰三角形?

【答案】130°;(2;(3)①30°;②x=33

【解析】

1)当BP最小时,即BPAC,根据相似三角形的性质,可求出BP值,当x=1时,可得出△BPN∽△PMF,由此可得出tanFBP的值,则可得到∠FBP的值;

2)可证BP垂直平分AP,求得FP=,证GHRtFGP中线,则GH=FP

3)①过PPNBCADM,可证△FMP∽△PNB,设PC=xPN=,可求得NCMPBN长度,tanFBP===,即可求得∠FBP的大小;

②分三种情况讨论求解即可.

1)当BP最小时,AF重合,即BPAC

AD=3CD=3

AC=6,∠BAC=30°,

RtABCRtAPB中,∠BAC=PAB

∴△ABC∽△APB

=

=

BP=

PMBCN,交ADM

x=1时,PN=MP=CN=BN=

∵∠BNP=PMF=BPM=90°,

∴∠FPM+PFM=90°,∠FPM+BPN=90°,

∴∠PFM=BPN

∴△BPN∽△PMF

===tanFBP=

∴当x=1时,∠FBP=30°;

2)∵PAC中点,

AP=PC=AB=3

∴∠ABP=APB=BAP=60°,

RtABFRtPBF中,AB=BPBF=BF

RtABFRtPBF

AG=PG,∠AGB=PGB=90°,

BF垂直平分AP

RtBFP中,∠PBF=30°,BP=3

PF=tan30°×3=

HPF中点,

GHRtPGF的中线,

GH=PF=;

3)①∠FBP=30°,

PPNBCADM

∵∠PBN=FPM,∠BPN=PFM

∴△FMP∽△PNB

CP=x,则PN=NC=xMP=3-xBN=3-x

tanFBP===

∴∠FBP=30°;

②(i)若AF=FP,则∠FPA=FAP=30°,

AB=BP,且△ABP为等边三角形,

BF为△ABP垂直平分线,

AB=BP=3,即x=3

ii)若AP=FP,则∠APF=120°>90°(舍去);

iii)若AP=AF,则∠CBP=CPB=75°,BC=PC,此时x=3.

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