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【题目】如图,在△ABC中,ABAC,点D在边BC上,联结AD,以AD为一边作△ADE,满足ADAE,∠DAE=∠BAC,联结EC

1)求证:CA平分∠DCE

2)如果AB2BDBC,求证:四边形ABDE是平行四边形.

【答案】1)见解析;(2)见解析

【解析】

1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB,证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE,根据角平分线的定义证明结论;

2)根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA,得到∠BAD=∠ACB,分别证明AEBDABDE,根据平行四边形的判定定理证明.

1)证明:∵ABAC

∴∠B=∠ACB

∵∠DAE=∠BAC

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACESAS),

∴∠B=∠ACE

∴∠ACB=∠ACE

CA平分∠DCE

2)证明:∵AB2BDBC

又∠B=∠B

∴△ABD∽△CBA

∴∠BAD=∠ACB

∵△ABD≌△ACE

∴∠BAD=∠CAE

∴∠CAE=∠ACB

AEBD

ABACADAE,∠DAE=∠BAC

∴∠ACB=∠ADE

∴∠BAD=∠ADE

ABDE

AEBDABDE

∴四边形ABDE是平行四边形.

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