【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边BC上,联结AD,以AD为一边作△ADE,满足AD=AE,∠DAE=∠BAC,联结EC.
(1)求证:CA平分∠DCE;
(2)如果AB2=BDBC,求证:四边形ABDE是平行四边形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB,证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE,根据角平分线的定义证明结论;
(2)根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA,得到∠BAD=∠ACB,分别证明AE∥BD,AB∥DE,根据平行四边形的判定定理证明.
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE,
∴∠ACB=∠ACE,
∴CA平分∠DCE;
(2)证明:∵AB2=BDBC,
∴=,
又∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBA,
∴∠BAD=∠ACB,
∵△ABD≌△ACE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴∠CAE=∠ACB,
∴AE∥BD,
∵AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC,
∴∠ACB=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,
∴AB∥DE,
∵AE∥BD,AB∥DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点.F是线段BC延长线上一点,且CF=AE连接BE
(1)发现问题:如图①,若E是线段AC的中点,连接EF,其他条件不变,猜想线段BE与EF的数量关系
(2)探究问题:如图②,若E是线段AC上任意一点,连接EF,其他条件不变,猜想线段BE与EF的数量关系是什么?请证明你的猜想
(3)解决问题:如图③,若E是线段AC延长线上任意一点,其他条件不变,且∠EBC=30°,AB=3请直接写出AF的长度
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【题目】某水果店以每千克8元的价格收购苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果以每千克降价4元销售,全部售完。销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示。请根据图象提供的信息完成下列问题:
(1)降价前苹果的销售单价是 元/千克;
(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x千克之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)该水果店这次销售苹果盈利多少元?
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【题目】某玩具店用2000元购进一批玩具,面市后,供不应求,于是店主又购进同样的玩具,所购的数量是第一批数量的3倍,但每件进价贵了4元,结果购进第二批玩具共用了6300元.若两批玩具的售价都是每件120元,且两批玩具全部售完.
(1)第一次购进了多少件玩具?
(2)求该玩具店销售这两批玩具共盈利多少元?
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【题目】某中学为了解初三学生的视力情况,对全体初三学生的视力进行了检测,将所得数据整理后画出频率分布直方图(如图),已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为0.05,0.1,0.25,0.1,如果第四小组的频数是180人,那么该校初三共有_____位学生.
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【题目】如图,矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且AE=DE,BC=3BF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点A恰好落在BC边上的点G处,则cos∠EGF的值为_____.
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,点P是对角线AC上一动点(不与点C和点重合),连接PB,过点P作交射线DA于点F,连接BF. 已知AD=3,CD=3,设CP的长为x,
(1)线段的最小值 ,当x=1时, ;
(2)如图,当动点运动到AC的中点时,与的交点为G,的中点为,求线段GH的长度;
(3)当点在运动的过程中,
①试探究是否会发生变化?若不改变,请求出大小;若改变,请说明理由;
②当为何值时,是等腰三角形?
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【题目】如图1,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点D在AC上,DE⊥AB于E,连接BD,点F是BD的中点,连接EF,CF.
(1)EF和CF的数量关系为 ;
(2)如图2,若△ADE绕着点A旋转,当点D落在AB上时,小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN,再利用全等三角形的判定,得到了EF和CF的数量关系,请写出此时EF和CF的数量关系 ;
(3)若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时,EF和CF的数量关系是什么?写出你的猜想,并给予证明.
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【题目】如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=8,点P是射线AC上一点(不与点A、C重合),过P作PM⊥AB,垂足为点M,以M为圆心,MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N,点Q是边BC上一点,且CQ=2CP,联结NQ.
(1)如果⊙M与直线BC相切,求⊙M的半径长;
(2)如果点P在线段AC上,设线段AP=x,线段NQ=y,求y关于x的函数解析式及定义域;
(3)如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P,求线段AP的长.
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