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【题目】如图1,△ABC是直角三角形,∠ACB90°,点DAC上,DEABE,连接BD,点FBD的中点,连接EFCF

1EFCF的数量关系为   

2)如图2,若△ADE绕着点A旋转,当点D落在AB上时,小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CMEN,再利用全等三角形的判定,得到了EFCF的数量关系,请写出此时EFCF的数量关系   

3)若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时,EFCF的数量关系是什么?写出你的猜想,并给予证明.

【答案】1EF=CF;(2EF=CF;(3EF=CF,证明详见解析.

【解析】

1)根据DEAB,可得∠ACB=∠DEB90°,再根据中点平分线段长度可得EFCFBD即可证明EFCF

2)根据三角形斜边中线定理可得CMBMAMABANENDNAD,即可推出FMEN,再根据旋转的性质得ENF=∠CMF,即可证明△EFN≌△FCMSAS),得证EFCF

3)取AB的中点MAD的中点N,连接MCMFENFN,通过证明四边形MFNA是平行四边形,可得NFAM,∠FMA=∠ANF,再通过三角形斜边中线定理和角的和差关系可得CMNF,即可证明△MFC≌△NEFSAS),从而得证FEFC

解:(1EFCF

理由:∵DEAB

∴∠ACB=∠DEB90°,

FBD的中点,

EFCFBD

故答案为:EFCF

2EFCF

理由:∵∠AED=∠ACB90°,CMEN是△ABC和△ADE斜边上的中线,

CMBMAMABANENDNAD

∵点FBD的中点,

BFFD

AN+BFDN+DFFNAB

FNCMAM

FMFNMNANAMMN

FMAN

FMEN

∵△ADE绕着点A旋转,当点D落在AB上,

∴∠EAD=∠CAB

∵∠EAN=∠AEN,∠MAC=∠ACM

∴∠ENF=∠EAN+AEN2EAN,∠CMF=∠CAM+ACM2CAM

∴∠ENF=∠CMF

在△EFN与△FCM中,

∴△EFN≌△FCMSAS),

EFCF

故答案为:EFCF

3)猜想,EFCF

理由:如图3中,取AB的中点MAD的中点N,连接MCMFENFN

BMMABFFD

MFADMFAD

ANND

MFANMFAN

∴四边形MFNA是平行四边形,

NFAM,∠FMA=∠ANF

RtADE中,∵ANND,∠AED90°,

ENADANND,同理CMABAMMB

在△AEN和△ACM中,

AEN=∠EAN,∠MCA=∠MAC

∵∠MAC=∠EAN

∴∠AMC=∠ANE

又∵∠FMA=∠ANF

∴∠ENF=∠FMC

AMFNAMCM

CMNF

在△MFC和△NEF中,

∴△MFC≌△NEFSAS),

FEFC

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