Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，NM与⊙O相切于点M，与AB的延长线交于点N，MH⊥AB于点H．

（1）求证：∠1＝∠2；

（2）若∠N＝30°，BN＝5，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）⊙O的半径为5；（3）

【解析】

（1）根据切线的性质得出OM⊥MN，即可得出∠1+∠BMO＝∠NMO＝90°，由NH⊥AB，推出∠2+∠MBO＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠OBM＝∠OMB，即可证得∠1＝∠2；

（2）由∠N＝30°，推出∠1+∠2＝60°，所以∠1＝∠2＝30°，∠MON＝60°，得到BM＝BN＝5，易知△OBM为等边三角形，所以OB＝OM＝BM＝5，得出结论；

（3）三角形OMN的面积减去扇形OMN的面积即为线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积．

解：（1）证明：连接OM，

∵NM与⊙O相切，

∴OM⊥MN，

∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠OMB，

∵NH⊥AB，

∴∠2+∠MBO＝90°，

∵∠1+∠BMO＝∠NMO＝90°，

∴∠1＝∠2；

（2）∵∠N＝30°，

MH⊥AB，

∴∠1+∠2＝60°，

∴∠1＝∠2＝30°，∠MON＝60°，

∴BM＝BN＝5，

∵OB＝OM，

∴△OBM为等边三角形，

∴OB＝OM＝BM＝5，

即⊙O的半径为5；

（3）由（2）知，∠N＝30°，OM＝5，

∴MN＝5，

∴S△OMN＝MNOM＝＝，

S扇形MOB＝＝，

∴线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积＝．