Question

【题目】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F

（1）当点E在AC边上时（如图1），求证CE=BF

（2）在（1）的条件下，求证：

（3）当∠EDF绕D点旋转到图3的位置即点E、F分别在AC、CB边的延长线上时，上述（2）结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.

【解析】

（1）由题意证明四边形ECFD为矩形，△DFE中DF=FB，从而求解即可；（2）在图1，图2中分别进行证明，在图1中证明四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；在图2中利用三角形全等的判定证明△CDE≌△BDF，利用中线的性质得到，从而得到；（3）不成立；同（2），在图3中得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF-S△CFE=S△ABC．．

解：

（1）由图可知：

∴四边形ECFD是矩形

∴EC=DF，∠DFB=90°

∵Rt△ABC中，AC=BC，

∴

∴DF=FB

∴DE=DF

∴CE=BF

（2）如图1，

∵D是AB的中点

∴AD=BD

由（1）可知

∴△AED≌△DFB

∴DE=DF

∴四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a．

∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2

即S△DEF+S△CEF=S△ABC；

如图2所示：连接CD；

∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，

∴∠B=45°，∠DCE=∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AB=BD，

∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，

∵∠EDF=90°，

∴∠1=∠2，

在△CDE和△BDF中， ，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴

又∵D为AB中点，

∴

∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=S△ABC；

（3）不成立；S△DEF-S△CEF=S△ABC；理由如下：连接CD，

如图3所示：

同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°

∴S△DEF=S五边形DBFEC，

=S△CFE+S△DBC，

=S△CFE+S△ABC，

∴S△DEF-S△CFE=S△ABC．

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC．