Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，有二次函数，顶点为，与轴交于、两点（在左侧），易证点、关于直线对称，且在直线上．过点作直线交直线于点，、分别为直线和直线上的两个动点，连接、、，则的最小值为________

Answer 1

【答案】8

【解析】

设=0，则可求出抛物线和x轴的交点坐标，即A和B的坐标，再把抛物线解析式配方可求出顶点H的坐标，进而求出过A和H点的直线解析式，

因为过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，所以直线BK的斜率和直线AH的相等，又过B，所以可求出直线BK的解析式，再把直线l的解析式和BK的解析式联立，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

设=0，

解得x1=-3，x2=1，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），

∵=-（x+1）2+2，

∴顶点H的坐标是（-1，2），

设直线AH的解析式为y=kx+b，把A和H点的坐标代入求出k=，b=3，

∵过点B作直线BK∥AH，

∴直线BK的解析式为y=mx+n中的m=，

又因为B在直线BK上，代入求出n=-，

∴直线BK的解析式为：y=x-，

联立，

解得：，

∴交点K的坐标是（3，2），

则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2），

∴HN+MN的最小值是MMB，KD=KE=2，

过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2，

则QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB==8，

∴HN+NM+MK的最小值为8．

答：HN+NM+MK和的最小值是8．

故答案为：8．