Question

【题目】如图Ⅰ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2＋S3．

（1）如图Ⅱ，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，设BC=a，AC=b，AB=c，请你确定S1、S2、S3之间的关系并证明．

（2）如图Ⅲ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系．（不必证明）

（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系？（不必证明）

Answer 1

【答案】（1）（1）S1=S2+S3，证明见解析；

（2）S1=S2+S3；

（3）S1=S2+S3

【解析】试题分析：（1）从图1的规律可得S1=S2+S3；

（2）根据勾股定理求得等边三角形的高，再求出面积，可得S1=S2+S3；

（3）根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得， ，∴，∴S1=S2+S3．

试题解析：（1）设Rt△ABC三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c2=a2+b2．

∴S1=S2+S3

（2）S1=S2+S3，证明如下：

显然S1=c2，S2=a2，S3=b2，

∴S2+S3=（a2+b2）=c2=S1．

（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．

∵所作三个三角形相似．

∴， ，

∴，

∴S1=S2+S3．

即凡是向△ABC外做相似多边形，S1=S2+S3．