Question

14．已知关于x的方程（a+c）x²+bx-（a+2c）=0的两根之和为1，两根的倒数和为-2．
（1）求这个方程的两根之积；
（2）求a：b：c．

Answer 1

分析 （1）设关于x的方程（a+c）x²+bx-（a+2c）=0的两根为x₁，x₂，由题意得x₁+x₂=1，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2，即可求出两根之积；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{b}{a+c}$=1，x₁x₂=-$\frac{a+2c}{a+c}$=-$\frac{1}{2}$，由-$\frac{a+2c}{a+c}$=-$\frac{1}{2}$，得出a=-3c，代入-$\frac{b}{a+c}$=1，得出b=-a-c=2c，根据一元二次方程的定义得到a+c≠0，则c≠0，进而求出a：b：c的值．

解答 解：（1）设关于x的方程（a+c）x²+bx-（a+2c）=0的两根为x₁，x₂，
由题意得，x₁+x₂=1，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2，
即$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2，
所以x₁x₂=-$\frac{1}{2}$；

（2）∵x₁x₂=-$\frac{a+2c}{a+c}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a+c=2a+4c，
∴a=-3c．
∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a+c}$=1，
∴b=-a-c=2c，
∵a+c≠0，
∴c≠0，
∴a：b：c=-3c：2c：c=-3：2：1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．同时考查了一元二次方程的定义．