Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．

（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，

∴ ，解得：a=﹣1，b=1，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+1，

抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）

（2）

解：设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：

，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．

∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n，

∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣1．

将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x2+1，解得：x1=2，x2=﹣1，

∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，

D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3，∴D点坐标为（2，﹣3）．

如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，

在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD= ；

在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD= ；

又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC= ；

∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD= + + + = +

方法二

∵A（1，0），C（0，1），∴lAC：y=﹣x+1，

∵BD∥CA，∴KBD=KAC=﹣1，

∴lBD：y=﹣x﹣1，

∴ ，

∴x1=2，x2=﹣1（舍），

∴D（2，﹣3），

∴AC= = ，

CB= = ，

BD= =3 ，

DA= = ，

∴四边形ABCD的周长为：5 +

（3）

解：假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：

（Ⅰ）若△EPB∽△BDC，如答图②所示，

则有 ，即 ，∴PE=3BE．

设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，

∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）．

∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，

∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2，

当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．

因此，此种情况不存在；

（Ⅱ）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，

则有 ，即 ，∴BE=3PE．

设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE= BE= （1+m）= + m，

∴点P的坐标为（m， + m）．

∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，

∴ + m=﹣（m）2+1，解得m=﹣1或m= ，

∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m= ，

点P的纵坐标为： + m= + × = ，

∴点P的坐标为（ ， ）．

综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（ ， ）

方法二

∵C（0，1），B（﹣1，0），

∴KBC= =1，

∵KBD=﹣1，∴KBC×KBD=﹣1，

∴BD⊥BC，

若△EPB∽△BDC，则 或 ，

①设点P（t，﹣t2+1），E（t，0），B（﹣1，0），

PE=PY=﹣t2+1，BE=EX﹣BX=t+1，

∵BD=3 ，CB= ， ，

∴ ，

∴t=﹣2（此时点P位于x轴下方，故舍去）

②∵ ，

∴ ，

∴t= ，

∴P（ ， ）

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．