Question

【题目】已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：EDEA=ECEB；

（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= ，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；

（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC= ，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，

∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°，

∴∠EDC=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EDC=∠ABC，

∵∠E=∠E，

∴△EDC∽△EBA，

∴ = ，

∴EDEA=ECEB．

（2）解：如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．

在Rt△CDF中，cos∠ADC= ，

∴ = ，∵CD=5，

∴DF=3，

∴CF= =4，

∵S△CDE=6，

∴ EDCF=6，

∴ED= =3，EF=ED+DF=6，

∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC，

∴∠BAG=30°，

∴在Rt△ABG中，BG= AB=6，AG= =6 ，

∵CF⊥AD，AG⊥EB，

∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E，

∴△EFC∽△EGA，

∴ = ，

∴ = ，

∴EG=9 ，

∴BE=EG﹣BG=9 ﹣6，

∴S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE= （9 ﹣6）×6 ﹣6=75﹣18 ．

（3）解：如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，

∴tan∠E= ，

作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，

∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，

∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F，

易证△AFG∽△CEH，

∴ = ，

∴ = ，

∴a= ，

∴AD=5a= ．

【解析】要证乘积式等式成立，可化为比例式即成立，进一步确定三角形△EDC与△EBA相似；（2）特殊角、三角函数应放在直角三角形中运用，因此需作垂线构造直角三角形，恰好构造出第（1）题的图形，借鉴第一问的思路，求出EG，进一步利用面积之差，求出四边形ABCD的面积.（3）作垂线构造出直角三角形，利用相似三角形△AFG∽△CEH，构建比例式，求出AD的长.
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)，还要掌握锐角三角函数的定义(锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数)的相关知识才是答题的关键．