【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O
上一点,且∠AED=45°。
(1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为6cm,AE=10cm,求∠ADE的正弦值。
【答案】(1)CD与⊙O相切,理由见解析(2)
【解析】
解:(1)连接BD,OD,
∵AB是直径,∴∠ADB=90°。
∵∠ABD=∠E=45°,∴∠DAB=45°,则AD=BD。
∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。
又∵DC∥AB,∴OD⊥DC, ∴CD与⊙O相切。
(2)过点O作OF⊥AE,连接OE,
则AF=AE=×10=5。
∵OA=OE,∴∠AOF=∠AOE。
∵∠ADE=∠AOE,∴∠ADE=∠AOF。
在Rt△AOF中,sin∠AOF=,
∴sin∠ADE= sin∠AOF =。
(1)连接OD,BD,由AB为直径,∠AED=45°,证得△ABD是等腰直角三角形,即AD=BD,
然后由等腰三角形的性质,可得OD⊥AB,又由四边形ABCD是平行四边形,即可证得OD⊥CD,即可
证得CD与⊙O相切。
(2)过点O作OF⊥AE,连接OE,由垂径定理可得AF=6,∠AOF=∠AOE,又由圆周角定理
可得∠ADE=∠AOE,从而证得∠AOF=∠ADE,然后在Rt△AOF中,求得sin∠AOF的值,即可求得
答案。
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【题目】每年的农历三月初一为通州风筝节.这天,小刘同学正在江海明珠广场上放风筝,如图风筝从A处起飞,几分钟后便飞达C处,此时,在AQ延长线上B处的小宋同学,发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
(1)已知旗杆高为10米,若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°,A处测得点P的仰角为45°,试求A、B之间的距离;
(2)此时,在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°,若绳子在空中视为一条线段,求绳子AC为多少米?(结果可保留根号)
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【题目】凤城中学九年级(3)班的班主任让同学们为班会活动设计一个摸球方案,这些球除颜色外都相同,拟使中奖概率为50%.
(1)小明的设计方案:在一个不透明的盒子中,放入黄、白两种颜色的球共6个,搅匀后从中任意摸出1个球,摸到黄球则表示中奖,否则不中奖.如果小明的设计符合老师要求,则盒子中黄球应有 个,白球应有 个;
(2)小兵的设计方案:在一个不透明的盒子中,放入2个黄球和1个白球,搅匀后从中任意摸出2个球,摸到的2个球都是黄球则表示中奖,否则不中奖,该设计方案是否符合老师的要求?试说明理由.
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【题目】如图,已知直线y=﹣2x经过点P(﹣2,a),点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y=(k≠0)的图象上.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出当y<4时x的取值范围.
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【题目】某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本(单位:元)、销售价(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,某人在D处测得山顶C的仰角为37°,向前走100米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=1:0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).
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【题目】如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图,点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称.隧道拱部分BCB1为一段抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8 m,点B离路面AA1的距离为6 m,隧道宽AA1为16 m.
(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式.
(2)现有一大型货车,装载某大型设备后,宽为4 m,装载设备的顶部离路面均为7 m,问:它能否安全通过这个隧道?并说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCO为矩形,点A在x轴上,点C在y轴上,且点B的坐标为(2,1),将此矩形绕点O逆时针旋转90°得矩形DEFO,抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)将矩形DEFO向右平移,当点E的对应点E’在抛物线上时,求线段DF扫过的面积.
(3)若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后,能使此抛物线的顶点在此矩形的边上,求d的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点.
(1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在抛物线上是否存在点 D(与点 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.
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