Question

13．已知二次函数的图象以A（0，1）为顶点，且过点B（2，3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）画出该二次函数的图象；
（3）若直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与抛物线交于C，D两点（C在左，D在右），求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以设二次函数的解析式为顶点式方程y=ax²+1（a是常数，且a≠0）．然后将点B的坐标代入求得a的值即可．
（2）根据五点法画出图象即可．
（3）联立方程，解方程组求得C、D的坐标，然后求得直线与y轴的交点，则两个三角形的面积的和即为所求．

解答 解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（0，1），
∴设二次函数的解析式为顶点式方程y=ax²+1（a是常数，且a≠0）；
又∵该函数的图象过点B（2，3），
∴3=4a+1，
解得，a=$\frac{1}{2}$，
∴该二次函数的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x²+1；
（2）画出函数的图象如图所示：

（3）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与抛物线交于C，D两点（C在左，D在右），
∴C（-2，3），D（1，$\frac{3}{2}$），如图，
由直线y=-$\frac{1}{2}$x+2可知直线与y轴的交点为（0，2），
∴△ACD的面积为：$\frac{1}{2}$×（2-1）×2+$\frac{1}{2}$×（2-1）×1=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．