Question

10．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=5，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何？
（2）若以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点至少有一点在⊙C内，至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，由直角三角形的性质得出CM的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论；
（2）根据BC、AC及CM的长即可得出r的取值范围．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=5，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
∵M为AB的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{34}}{2}$＜3，
∴以C为圆心，3为半径作⊙C，点A、B在圆外，点M在圆内；

（2）∵BC=5，BC＞AC＞CM，
∴以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点至少有一点在⊙C内，至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围为：$\frac{\sqrt{34}}{2}$＜r＜5．

点评 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系及直角三角形的性质是解答此题的关键．