Question

【题目】阅读下面材料，完成(1)-(3)题.

数学课上，老师出示了这样一道题:

如图，△ABC中，D为BC中点，且AD=AC,M为AD中点，连结CM并延长交AB于N.

探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明.

同学们经过思考后，交流了自已的想法:

小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系.”

小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的，大家就大胆的探究吧.”

小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决.”

......

老师: “若其他条件不变，设AB=a,则可以用含a的式子表示出线段CM的长.”

（1）探究线段AN、AB之间的数量关系，并证明;

（2）探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明;

（3）设AB=a,求线段CM的长（用含a的式子表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）或，证明见解析（3）

【解析】

（1）过B做BQ∥NC交AD延长线于Q，构造出全等三角形△BDQ≌△CDM（ASA）、相似三角形△ANM∽△ABQ，再利用全等和相似的性质即可得出结论；

（2）延长AD至H，使AD=DH，连接CH，可得△ABD≌△HCD(SAS)，进一步可证得，得到，然后证明，即可得到结论：；延长CM至Q，使QM=CM，连接AQ，延长至，使可得、四边形为平行四边形，进一步可证得，即可得到结论；

（3）在（1）、（2）的基础之上，用含的式子表示出、，从而得出．

（1）过B做BQ∥NC交AD延长线于Q，如图：

∵D为BC中点

易得△BDQ≌△CDM（ASA）

∴DQ=DM，

∵M为AD中点，

∴AM=DM=DQ，

∵BQ∥NC，

∴△ANM∽△ABQ，

∴，

∴；

（2）①结论：，

证明：延长AD至H，使AD=DH，连接CH，如图：

易得△ABD≌△HCD(SAS) ，

∴∠H=∠BAH，

∴AB∥HC，

设AM=x，则AD=AC=2x，AH=4x，

∴，，

∴；

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

②结论：；

证明：延长至，使，连接，

延长至，使，如图：

则，则四边形为平行四边形，

∴，，，，，，

∴，

∴，

∴，

∴， ，

∴，

∴；

(3)由（1）得，，

∴，

由（2）①得，

∵

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.