Question

【题目】如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P从A点出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ=45°，则封闭图形DPCQ（阴影部分）面积的变化情况是（ ）

A.一直变大B.始终不变C.先增大后减少D.先减少后增大

Answer 1

【答案】C

【解析】

先证明四边形ABCD是正方形，将△ACP绕点C旋转90°，得到△CAP≌△CBP’进而证得△CPQ≌△CP’Q,得到PQ=PQ’,CB=CH=CA,故△CHP≌△CAP，△CHQ≌△CBQ，得到PH=PA,QH=QB,故S四边形CPDQ=S正方形ABCD-S△CAP-S△CBQ=S正方形ABCD-S△CQP’,当点P是AD中点时，PQ最短，当QP’最短时，△CQP’的面积最小，此时四边形CPDQ的面积最大，故可得到四边形CPDQ的面积先增大后减小．

如图，令=0，解得x1=-2,x2=2,

∴A(-2,0), B(2,0),

令x=0，解得y=-2

∴C（0，-2）

故D（0，2）

∴AO=BO=CO=DO,AB⊥CD

则四边形ABCD是正方形，

将△ACP绕点C旋转90°，过C点作CH⊥QP于H点，

∴△CAP≌△CBP’

∴∠PCP’=∠PCB+∠BCP’=∠PCB+∠ACP =90°

∵∠PCQ=45°，

∴∠P’CQ=45°，又CQ=CQ,CP=CP’

∴△CPQ≌△CP’Q

∴PQ=PQ’,

∵CH⊥PQ,CB⊥QP’

∴CB=CH=CA,

又CP=CP

∴△CHP≌△CAP（HL），△CHQ≌△CBQ（HL），

∴PH=PA,QH=QB

故S四边形CPDQ=S正方形ABCD-S△CAP-S△CBQ=S正方形ABCD-S△CQP’

当点P是AD中点时，PQ最短，即QP’最短时，△CQP’的面积最小，

此时四边形CPDQ的面积最大，

故可得到四边形CPDQ的面积先增大后减小．

故选C．