Question

【题目】如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OC＝2OB， 点 D 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合)，过点 D 作矩形 DEFH，点 H、F 在抛物线上，点 E 在 x 轴 上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当矩形 DEFH 的周长最大时，求矩形 DEFH 的面积；

（3）在（2）的条件下，矩形 DEFH 不动，将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个单位，抛物线与矩形 DEFH的边交于点 M、N，连接 M、N．若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积，求 m 的值．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的解析式为; (2)10; (3)m的值为：

【解析】

（1）先求出点C的坐标，由OC=2OB，可得点B坐标，将点B坐标代入 可求出a的值，即可写出抛物线的解析式;

(2)设点D坐标为(x，0)用含x的代数式表示出矩形DEFH的周长,用函数的思想求出取其最大值时x的值，即求出点D的坐标,进一步可求出矩形DEFH的面积:

(3)如图，连接BH，EH, DF.设EH与DF交于点G,过点G作BH的平行线，交ED于M. 交HF于点N,则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，依次求出直线BH. MN的解析式，再求出点M的坐标，即可得出m的值.

解: (1)在抛物线 中,

当x=0时, y=-4.

∴C (0,-4)

∴OC=4.

∵OC=2OB.

∴OB=2. .

∴B(2.0).

将B (2, 0)代入,得，

∴a=;

∴抛物线的解析式为

(2)设点D坐标为(x, 0) ,

∵四边形DEFH为矩形.

∴,

∵

∴抛物线对称轴为x=-1,

∴点H到对称轴的距离为x+1.

由对称性可知DE=FH=2x+2,

∴矩形DEFH的周长为：

∴当x=1时，矩形DEFH周长取得最大值13,

∴此时

∴HF=2x+2=4. DH=

∴

(3)如图,连接BH, EH, DF.设EH与DF交于点G,

过点G作BH的平行线，交ED于M,交HF于点N,则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半,

由(2)知，抛物线对称轴为x=-1, ，

∴

设直线BH的解析式为y=kx+b,

将点B (2. 0)，代入, 得,

解得

∴直线BH的解析式为.

∴可设直线MN的解析式为

将点 代入,得

∴直线MN的解析式为

当y=0时，

∴

∵B(2,0)，

∴将抛物线沿着x轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N,连接M、N,则MN恰好平分矩形DEFH的面积,

∴m的值为：