Question

【题目】如图1，正方形中， 点是的中点，过点作于点，过点作垂直的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，连接，连接并延长交于点I，

①求证：；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②

【解析】

（1）根据正方形的性质与已知条件证明，利用AAS证明；

（2）①结合（1）证明，根据相似三角形的性质进行求证；

②方法一：延长和交于点，由正方形的性质与已知条件得出四边形是平行四边形，，，由①得出，进而可求出，最后根据相似三角形的性质进行求解；

方法二：连接，利用直角三角形斜边上的中线为斜边的一半得出，进而证明，，根据全等三角形的性质得出，设，， 在中利用勾股定理求出x，进而求解．

解：（1）证明：四边形是正方形，

，，

，

，的延长线于点，交于点，

，

，

，

（AAS）；

（2）①证明：，

又，

即，

，

，

，

；

②方法一：如图，延长和交于点，

，的延长线于点，交于点，

，

四边形是正方形，

，

四边形是平行四边形，，，

，

点是中点，

在中，，

，

，

点是中点，，

，

，

，

，

，

，

，

；

方法二：如图， 连接，

点是中点，，

，，

，

，

，

，

又，

，

，

，，

，

，

设，，则，，

在中，由勾股定理得，

解得，，

，

．